定理2(Darboux)limS(元)=inf S(),lim_s()=sups(π)1元/—0元-0证明根据定义，有下面的估计m(b -a) ≤S()≤M (b -a), m- (b -a)≤s(π)≤M.(b-a)因此infS(）和sups(）都存在V>0,由下确界的定义知，日分割元，使得S(π) <inf S(v) + 号2设由个分点构成对于任意另一分割，U元至多比元多个分点由引理 2,有S() -(M -m) k /l ≤ S(π U元) ≤S(") <inf S() + 0于是,当 =2(M/-m+1)-长时,e+inf S(π) +inf S(π) ≤ S(π)≤(M-m)-k.22(M-m+1)kT< infS()+e这就证明了lim S(元) = inf S(元)元0同理可证另一极限称infS()为在[a,]上的上积分，sups(）为f在[a,b]上的下积分定理3(可积的充要条件)设函数f在[a,b]上有界,即If(r)/≤M,rE[a,b]，则以下条件等价：(1)f在[a,b]上Riemann可积(2)f在[a,bl上的上积分和下积分相等(3)>0,3[a,l的某个分割元,使得S(元) - 8(元) =Ewi-Ari<e.i=l6
*; 2 (Darboux) lim kπk→0 S(π) = inf π S(π), lim kπk→0 s(π) = sup π s(π). O? Dv,u, {\%G`: m(b − a) ≤ S(π) ≤ M · (b − a), m · (b − a) ≤ s(π) ≤ M · (b − a) v inf π S(π) Q sup π s(π) -. ∀ ε > 0, z\(q%,u, ∃ :A π 0 , 6$ S(π 0 ) < inf π S(π) + ε 2 1 π 0 z k B:)F. 1~*t n:A π, π ∪ π 0 2 π 2 k B:). zw 2, { S(π) − (M − m) · k · kπk ≤ S(π ∪ π 0 ) ≤ S(π 0 ) < inf π S(π) + ε 2 ~:, ! kπk < δ = ε 2(M − m + 1) · k 4, inf π S(π) ≤ S(π) ≤ (M − m) · k · ε 2(M − m + 1)k + inf π S(π) + ε 2 < inf π S(π) + ε t lim kπk→0 S(π) = inf π S(π) Kz n]^. inf π S(π) S f [a, b] 0%0\:, sup π s(π) S f [a, b] 0%\\:. *; 3 (:4'&ID7) 1O> f [a, b] 0{q, _ |f(x)| ≤ M, ∀ x ∈ [a, b], q\Ij&e: (1) f [a, b] 0 Riemann z\. (2) f [a, b] 0%0\:Q\\:`&. (3) ∀ ε > 0, ∃ [a, b] %B:A π, 6$ S(π) − s(π) = Xn i=1 ωi · ∆xi < ε. 6
lim(4)7wi·Ari=0.1元-02i=1(5)Ve>0,>0,日[a,可的某个分割元,使得Ari<n.wiZe证明月(1)→(2)：由在[a,上可积设积分为I.>0,日>0,当I元/<8 时, 有2I-e<f(s)-Ari<I+ei=1于是，ninfI-E8(元) =f(r).Ari<=1 re[-1,2] nD≤supf(r)Arre[ri-1,2]S(π) <I+-由定理 2,I -≤sups()≤inf S()≤I+令6→0.得到sups()= inf S(元) = I.T(2) →(1):设 sups(元)= inf S(π), 记为 I. 由 Darboux 定理, Ve>0, >0,当元<时，nI -E<s() ≤f(Si) -△Ti≤S()<I +Ei=1即有Ef(3) - Ar = I.lim1元104i=1也就是说f在[a，]上可积，积分为I.7
(4) lim kπk→0 Xn i=1 ωi · ∆xi = 0. (5) ∀ε > 0, η > 0, ∃ [a, b] %B:A π, 6$ X wi≥ε ·∆xi < η. O? (1) ⇒(2): z f [a, b] 0z\, 1\:S I. ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ! kπk < δ 4, { I − ε < Xn i=1 f(ξi) · ∆xi < I + ε ~:, I − ε ≤ s(π) = Xn i=1 inf x∈[xi−1,xi] f(x) · ∆xi ≤ Xn i=1 sup x∈[xi−1,xi] f(x) · ∆xi = S(π) ≤ I + ε z, 2, I − ε ≤ sup π s(π) ≤ inf π S(π) ≤ I + ε ε → 0, $# sup π s(π) = inf π S(π) = I. (2) ⇒(1): 1 sup π s(π) = inf π S(π), aS I. z Darboux ,, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ! kπk < δ 4, I − ε < s(π) ≤ Xn i=1 f(ξi) · ∆xi ≤ S(π) < I + ε _{ lim kπk→0 Xn i=1 f(ξi) · ∆xi = I. mt:? f [a, b] 0z\, \:S I. 7
(2)→(3)：由定理2,此时lim (S(π) - s(π)) = inf S(π) - sups(元) = 01元/—0从而>0,日分割，使得S(元) - 8(元)<.(3)→(2)：如果存在分割元，使得S(元) - s(π) <E则由s(元)≤sups(元)≤infS(元)≤S(元)知0≤inf S()-sup8(元)≤S()-s()<由。的任意性知上和下和相等以上证明了(1)，(2)，(3)互相等价下证(2)，(4)，(5)互相等价(2)台(4)：由定理2nlimw-Ar =lim (S()-s(元)1元-041元-=1= inf S(π) - sup s(π).元(4)→(5)：>0,n>0,由(4),存在分割元，使得u Am ei=1从而ne.Ari<Cwi-ri<e.ni=1wiZe即Aai<nwie8
(2) ⇒(3): z, 2, 4 lim kπk→0 (S(π) − s(π)) = inf π S(π) − sup π s(π) = 0 3 ∀ ε > 0, ∃ :A π, 6$ S(π) − s(π) < ε. (3) ⇒(2): -M:A π, 6$ S(π) − s(π) < ε z s(π) ≤ sup π0 s(π 0 ) ≤ inf π0 S(π 0 ) ≤ S(π) 0 ≤ inf π0 S(π 0 ) − sup π0 s(π 0 ) ≤ S(π) − s(π) < ε z ε %*th0Q\Q`&. q0 (1), (2), (3) V`&e. \ (2), (4), (5) V`&e. (2) ⇔(4): z, 2 lim kπk→0 Xn i=1 ωi · ∆xi = lim kπk→0 (S(π) − s(π)) = inf π S(π) − sup π s(π). (4) ⇒(5): ∀ ε > 0, η > 0, z (4), :A π, 6$ Xn i=1 ωi · ∆xi < ε · η 3 ε · X ωi≥ε ∆xi ≤ Xn i=1 ωi · ∆xi < ε · η _ X ωi≥ε ∆xi < η. 8
(5)→(3)：V>0,由(5),存在[a,的分割元，使得eZAri<4Mwi22(6-a)对于这个分割，有nZZiAri =ZwArr,+Wi-Ari=1wi<26-a)wi22(6-a)eZNAri+ 2M.Aai.2(b - a)wi<6a)wz2(6-a)E(b- a) +2M .<4M2(b -a)一.梯数(1)设[α,] [a,b],如果f在[a,]上可积,则f在[,β]上也可积(2)设cE(a,b),如果f在[a,c]及[c,b]上反可积,则f在[a,]上可积望明(1)>0,由于f在[a,上可积,由定理3(4),日8>0,当元<积，w△r<e.取[α,β]的一个分割元"，使得元l<8.易见，可构必[a,]的-1分割元，使得元可元通过添加[a,6]-[α,β]中的分点得到，且元ll<,则EwiAri<Ewi-Ari<eT'T由定理3(3)知,于在[α,β]上可积(2)用定理3(3)很容易虑明，留作习题为如果f在[a,b]上可积，9里于们在有限个点不同值，则g亦可积且f(a)da = / g(a)da(习题),任否4（是时设算(1)分f在[a,]上越续则f在[a,b]上可积(2)分们在[a,b]中有限个点处不越续则于可积(3)分f为[a,b]上的单调函数，则f可积(4)分f,9在[a,]上可积，则fg在[a,b]上也可积(5) 设f 在[a,b] 上越续 在[α, ] 上可积,a≤(t) ≥b,Vt [α,P],则 fo在[Q,]上仍可积9
(5) ⇒(3): ∀ ε > 0, z (5), [a, b] %:A π, 6$ X ωi≥ ε 2(b−a) ∆xi < ε 4M 1~ B:A, { Xn i=1 ωi · ∆xi = X ωi< ε 2(b−a) ωi · ∆xixi + X ωi≥ ε 2(b−a) ωi · ∆xi < ε 2(b − a) · X ωi< ε 2(b−a) ∆xi + 2M · X ωi≥ ε 2(b−a) ∆xi < ε 2(b − a) · (b − a) + 2M · ε 4M = ε. E> (1) 1 [α, β] ⊂ [a, b], -M f [a, b] 0z\, f [α, β] 0mz\. (2) 1 c ∈ (a, b), -M f [a, c] ^ [c, b] 0-z\, f [a, b] 0z\. O? (1) ∀ ε > 0, z~ f [a, b] 0z\, z, 3(4), ∃ δ > 0, ! kπk < δ 4, Pn i=1 ωi · ∆xi < ε. & [α, β] %nB:A π 0 , 6$ kπk < δ. ri, zF [a, b] % :A π, 6$ π : π 0 JNHc [a, b] − [α, β] %:)$#, ! kπk < δ, X π0 ωi · ∆xi ≤ X π ωi · ∆xi < ε z, 3(3) , f [α, β] 0z\. (2) y, 3(3) T,r, Æ"YG. S -M f [a, b] 0z\, g f {^B)K, g sz\, ! Z b a f(x)dx = Z b a g(x)dx(YG). *; 4 (:41A) (1) / f [a, b] 0i, f [a, b] 0z\. (2) / f [a, b] {^B)i, f z\. (3) / f S [a, b] 0% +O>, f z\. (4) / f, g [a, b] 0z\, f · g [a, b] 0mz\. (5) 1 f [a, b] 0i, ϕ [α, β] 0z\, a ≤ ϕ(t) ≥ b, ∀t ∈ [α, β], f ◦ ϕ [α, β] 0+z\. 9