有理插值问題的不一定总是存在的。 例给定型值点(-1)、(3)(2,3),求形如 a +ax R1(x) 6+bx 的有理插值。 解由插值条件a+a4x-f(x)(b+bx)=0 (=02),易求得a=3a1=3b,b=b, 取b=1,则得4=41=3b=b=1,于是
有理插值问题的不一定总是存在的。 例1. 给定型值点 ，求形如 的有理插值。 解 由插值条件 ，易求得 取 则得 于是 (−1,1 , 1,3 , 2,3 ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1,1 0 1 a a x R x b b x + = + 0 1 0 1 ( )( ) 0 i i i a a x f x b b x + − + = (i = 0,1, 2) 0 1 1 1 0 1 a b a b b b = = = 3 , 3 , , 1 b =1, 0 1 0 1 a a b b = = = = 3, 1
R1(x) 3+3x 1+x 显然当x≠-时,有R1(x)=R1(x)=3,而 R1(x)与1(x)是值为3的同一函数的两种 不同表现形式。在几何上当x≠-1时R1(x) 是一条平行于x轴的直线,它不可能通过 型值点(-,1),故它不是(2.1)的解。因 此,满足插值条件(2.1)的R1(x)是不存 在的
显然当 时，有 ，而 与 是值为3 的同一函数的两种 不同表现形式。在几何上当 时， 是一条平行于x 轴的直线，它不可能通过 型值点 ，故它不是（2.1）的解。因 此，满足插值条件（2.1） 的 是不存 在的。 1,1 ( ) 3 3 1 x R x x + = + x −1 R x R x 1,1 1,1 ( ) = = ( ) 3 R x 1,1 ( ) R x 1,1 ( ) R x 1,1 ( ) x −1 R x 1,1 ( ) (−1,1)
定理1插值问题(21)若有解,则其解 必唯一。 证明:设有两个有理函数 P P R(x= R.(x mm.n (( 均满足插值条件(21),即 P ,j=0,12…,m+n
定理1 插值问题（2.1）若有解，则其解 必唯一。 证明：设有两个有理函数 均满足插值条件(2.1),即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , m n m n P x P x R x R x Q x Q x = = ( ) ( ) ( ) ( ) , 0,1, , , j j j j P x P x j m n Q x Q x = = +