F()=gR2.1 下面用微元法来求变力所作的功。 取x为积分变量x∈[R,R+H] W=Fx)=mgR之 R+H 为了使火箭脱离地球引力范围，也 就是说要把火箭发射到无穷远处H→+∞ 所须作的功 w-mn-m心R(RR十甘=腾R H→+∞
2 2 1 ( ) x F x = mgR 下面用微元法来求变力所作的功。 x[R,R+ H] dx x dW F x dx mgR 2 2 1 = ( ) = dx x W mgR R H R H + = 2 2 1 ) 1 1 ( 2 R R H mgR + = − 取 x 为积分变量 mgR R R H w w mgR H H H = + = = − →+ →+ ) 1 1 ( 2 lim lim H → + 所须作的功 为了使火箭脱离地球引力范围，也 就是说要把火箭发射到无穷远处
这功是由火箭上的动能转化而来，若火箭 离开地面时的初速度为Vo 则动能为 2 2 因此要使火箭脱离地球引力范围，须有 m2sR≥2gR g=9.8×10-3km/s2,R=6371km 代入上式得≥11.2、—第二字宙速度
0 v 则动能为 2 0 2 1 mv 因此要使火箭脱离地球引力范围，须有 mv mgR 2 0 2 1 v0 2gR g 9.8 10 km s ,R 6371km 3 2 = = − 代入上式得 s v 11.2 km 0 ——第二宇宙速度 这功是由火箭上的动能转化而来，若火箭 离开地面时的初速度为
例3半径为R,高为H的圆柱形贮水桶，盛满了水， 问将水桶中的水全部吸出须作多少功？ 这个问题虽然不是变力作功问题，但是由于吸 解 出同样重量不同深度的水时所作的功是不同的，所 以也要用定积分来计算。可以理解水是一层一层地 被吸到桶口的 在区间【yy+少】上对应一小薄柱体 该水柱重为Rdy 将这一小水柱提到桶口所经过的距离 H-y
半径为R，高为H 的圆柱形贮水桶，盛满了水， 问将水桶中的水全部吸出须作多少功？ 解 这个问题虽然不是变力作功问题，但是由于吸 出同样重量不同深度的水时所作的功是不同的，所 以也要用定积分来计算。可以理解水是一层一层地 被吸到桶口的 在区间 [ y ,y + dy ] 上对应一小薄柱体 该水柱重为 R dy 2 将这一小水柱提到桶口所经过的距离 H − y 例3
dw=πR(H-y)d H →w=R∫H-J=7RH 将以上几例的解法一般化可得 若一物体在变力F(x) 的作用下，沿 力的方向（0x轴)作直线运动，当物体由 x=M移到x=b时，变力F(x) 对物体所作的功为 w=[F(x)dx
dw R (H y)dy 2 = − 2 2 0 2 2 w R (H y)dy R H H = − = 将以上几例的解法一般化 可得 若一物体在变力 F ( x ) 的作用下，沿 力的方向（ox 轴）作直线运动，当物体由 x = a 移到 x = b 时，变力 F ( x ) = b a w F(x)dx 对物体所作的功为