《线性代数》课程教学资源（PPT课件，A）2-3向量组的线性关系

第二章矩阵与向量解：先假定α=αα+α，即(0, 4, 2) = 2, (1, 2,3) + 22(2,3,1) + 2,(3,1, 2)=( +2+3,2 +3, +,3 +2 +2)因此[2 +22 +3 = 0,2 +32 +2 = 4,32 + , +2g = 2.232OT301[1[1230144-5-1[32.LO2]21-5-70323[120[100-54-54-1-1Lo-11LO0018181

第二章 矩阵与向量 1 2 3 (0,4,2) (1,2,3) (2,3,1) (3,1,2) = + +    1 2 3 1 2 3 1 2 3 = + + + + + + ( 2 3 ,2 3 ,3 2 )          因此 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0, 2 3 4, 3 2 2.           + + =   + + =  + + =  解：先假定        = + + 1 1 2 2 3 3， 即

第二章矩阵与向量2, =1,2, =1,2, = -1于是α可表示为 α=α,+αα例2 判断向量α =(1,2,3)是否能由向量α, = (1,3,2)αz = (-2,-1,1), α = (3,5,2), α4 = (-1,-3,-2)线性表示311[1-2-1-23[1-11解：32505-3-10-4-1L23251-2Lo01-4-23-1[11050-4-1LO0002所以, α= ,α, + α, + α,+,α,无解α不能由α，αz，αs，α,线性表示

第二章 矩阵与向量 1 2 3    = = = − 1, 1, 1 于是可表示为     = + − 1 2 3 1 2 3 4 (1, 2, 3) (1, 3, 2) (-2, -1,1) (3, 5, 2) ( 1, 3, 2)      = = = = = − − − 例2 判断向量 是否能由向量 ， ， ， 线性表示. 解： 所以，         = + + 1 1 2 2 3 3 4 4 + 无解.      不能由 1 2 3 4 ， ， ， 线性表示

第二章矩阵与向量一般地，向量能否由向量组线性表出可转化为线性方程组有没有解的问题b,anjb2i=1.2&β=am）bmxiαi +xα, +...+x,α, = β对应的线性方程组为aixi +ai2x2 +...+ainx, =ba21Xj +a22X2 +...+a2nxn=b2amX, +am2x, +...+amXn =b,m

第二章 矩阵与向量 为线性方程组有没有解的问题. 一般地，向量能否由向量组线性表出可转化 1 2 1, 2, , j j j mj a a j n a        = =         1 2 m b b b        =        1 1 2 2 n n x x x     + ++ = 对应的线性方程组为        + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1

第二章矩阵与向量向量组的等价二、[1.定义2.3.3设有两个n维向量组(1) : αj,α2,.",α,(II): ββ2,...,β若向量组()中每个向量都可由向量组()线性表示，则称向量组()可由向量组(m线性表示能相互线性表示，向量若向量组与向量组（m)组(D)与向量组(I)等价

第二章 矩阵与向量 二、向量组的等价 1.定义2.3.3 设有两个 n 维向量组 1 2 1 2 (I) : , , , (II) : , , , r s       若向量组(I) 中每个向量都可由向量组(II)线性 表示,则称向量组(I)可由向量组(II)线性表示； 若向量组(I)与向量组(II) 能相互线性表示，向量 组(I)与向量组(II)等价

第二章矩阵与向量例3向量组():α1=(0,1,1),α2=(0,1,0）向量组（II)β1=(0,21),β2=(0,01),β3=(0-1,0）一方面：α1=β1-β3α2=-β3另—方面：βi=α+α2 β2=α1—α2β3=—α2故两向量等价

第二章 矩阵与向量 例3 一方面： 另一方面： 故两向量等价