问题:如何判定一个驻点是否为极值点 定理(充分条件) 设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y)的某邻域U/(P)内 有一阶及二阶连续偏导数,且P0是f的驻点 则当H(B)是正定矩阵时,∫在P取得小 当H(P)是负定矩阵时,∫在P取得极大值; 当H,(P)是不定矩阵时,∫在P不取极值 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 0 ( ) , 则 是 当 矩阵时 H P f 正定 0 f P ; 在 取得极小值 ( ) , 当H f P0 是负定矩阵时 ; f 在 P0取得极大值 ( ) , 当H f P0 是不定矩阵时 . f 在 P0不取极值 定理（充分条件） 设函数z = f (x, y)在点 ( , ) 0 0 0 P x y 的某邻域 ( ) U P0 内 有一阶及二阶连续偏导数，且P0是 f 的驻点, 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
证:由二元函数的泰勒公式并注意 fx(x0,y0)=0,(x0,%0)=0 则有A=f(x0+h,y0+k)-f(x0,y) [f2(P)h2+2f0(B)Mk+fn(Pb)k2]+0(p2) (nA)(B6)+0p)(p=h2+k2 2 若H,(P)正定,则由引理知存在m>0使得 (h,)H(B)(h,k)≥m 故对充分小的U(P)只要xy)=(x+h,y+k)∈U(B),就有 f(x, y)-f(xo, m y)≥(-+0(1)(h+k2)≥0 2 所以∫在P取得极小值; ⊙。8 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意 ( , ) 0 , ( , ) 0 f x x0 y0 = f y x0 y0 = 则有 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 z = f x + h y + k − f x y 1 2 2 2 0 0 0 [ ( ) 2 ( ) ( ) ] xx xy yy = + + f P h f P hk f P k ( ) 2 + o ( ) 2 2 = h + k 0 1 ( , ) ( )( , )' 2 f = h k H P h k ( ) 2 + o 0 ( ) , 0 若 正定 则由引理知存在 使得 H P m f 2 0 ( , ) ( )( , )' . f h k H P h k m 故对充分小的 只要 就有 U P x y x h y k U P ( ), ( , ) , ( ), 0 0 0 0 = + + ( ) ( , ) ( , ) 0 0 f x y − f x y (1)) 2 ( o m + 2 2 ( ) 0. h k + ; 所以 f 在 P0取得极小值
同理 当H(P是负定矩阵时,f在P取得极大值; 若H(P)不定, 则存在5,52∈R2,使得5H(B)<0<52H,(P)52 那么对充分小的E>0有 (+65)-f()=5H,()+0(2)<0 f(B+2)-f() co C H(P)5+0(=2)>0 因而f在点P不取到极值 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 ( ) , 当H f P0 是负定矩阵时 ; f 在 P0取得极大值 同理 0 ( ) 若 不定， H p f ( ) ( ) 2 2 1 0 1 2 0 2 , , 0 . R H P H P f f 则存在 使得 1 那么对充分小的 有 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 0 1 0 1 1 0, 2 f f P f P H P o + − = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 0 2 1 0, 2 f f P f P H P o + − = + 0 因而 在点 不取到极值. f P
实用判定条件 若函数z=f(x,y)在点(xny3某邻域内 具有一阶和二阶连续偏导数,且 fx(x0,y0)=0,f(x0,y0)=0 令A=fx(x0,y0),B=x1(x0,y0),C=f1(x0,y) A<0时取极大值; 则1)当AC-B2>0时,具有极值 A>0时取极小值 2)当C-B2<0时,没有极值 3)当AC-B2=0时,不能确定,需另行讨论 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 时, 具有极值 具有一阶和二阶连续偏导数, 令 则: 1) 当 A<0 时取极大值; A>0 时取极小值. 2) 当 3) 当 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 0 0 z f x y x y = ( , ) ( , ) 在点 的某邻域内 ( , ) 0 , ( , ) 0 f x x0 y0 = f y x0 y0 = ( , ) , ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 A f x y B f x y C f x y = x x = x y = y y 0 2 AC − B 0 2 AC − B 0 2 AC − B = 且 实用判定条件:
讨论函数z=x3+y3及z=(2+y2)2在点0 是否取得极值 解:显然(0,0)都是它们的驻点,并且在00)都有 AC-B=0 z=x3+y3在(00)点邻域内的取值 可能为负,因此x0,0)不是极值 0 当x2+y2≠0时,x=(x2327-(00=0 因此2(00=(x2+y2)10=0为极小值 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 讨论函数 及 是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 在(0,0)点邻域内的取值 , 因此 z(0,0) 不是极值. 因此 0 , 当x 2 + y 2 时 2 2 2 z = (x + y ) 0 z (0,0) = 为极小值. 正 负 0 在点(0,0) 并且在 (0,0) 都有 可能为 O x y z