《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）多元函数微分法及其应用

第八节 第九章 多元西数的值及其求店 多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第九章 第八节 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 多元函数的极值及其求法

多元函数的极值 定义设是一个mxn对称矩阵即an=an,j=12,n 12 A X n n2 X xAx=∑∑1x称为关于x,x2…x的一次型, 对称矩阵称为二次型的系数矩阵 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定义 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , , n n n n nn n a a a x a a a x A x a a a x         = =             1 2 1 1 = , , n n ij i j n i j x Ax a x x x x x A = =    对 称为关于 的 ， 矩阵 称为 二次型 称 二次型的系数矩阵. 一、 多元函数的极值 A n n , a a ,i, j 1,2,...,n. 设 是一个  对称矩阵 即 ij = ji =

定义 不定矩阝 设4是一个mxn对称矩阵即an=an,i,=1,2…,n 如果对Wx∈R"1{0},都有 x'Ax>0,则称A为正定矩阵 xAx≥0,则称4为半正定矩阵 x'Ax<0,则称A为负定矩阵 x'Ax≤0,则称A为半负定矩阵 不是上面之一,则称为不定矩阵 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定义A n n , a a ,i, j 1,2,...,n. 设 是一个  对称矩阵 即 ij = ji = \ 0 ,   n 如果对 都有  x R x'Ax  0, 则称A为正定矩阵. x'Ax  0, 则称A为半正定矩阵. x'Ax  0, 则称A为负定矩阵. x'Ax  0, 则称A为半负定矩阵. 不是上面之一 则称为不定矩阵 , . (正定、负定、不定矩阵)

定理设4是一个xm对称矩阵 A正定所有顺序主子式大于0 所有特征值大于0 (即特征方程|AE-A=0的根大于0) 顺序主子式 以2×2矩阵为例:A 12 21 22 A正定a1>0 >0 21 22 A半正定兮m1≥0 ≥0 21 22 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 A正定 所有顺序主子式大于  0 以22矩阵为例:       = 21 22 11 12 a a a a A 0, A正定  a11  0, A半正定  a11  设A是一个nn对称矩阵, 0. 21 22 11 12  a a a a 0. 21 22 11 12  a a a a 定理 11 12 1 21 22 2 1 2 k k k k kk a a a a a a a a a k 阶顺序主子式 0 .  所有特征值大于 (即特征方程 的根大于0) | - | 0 E A =

A负定兮-A正定 兮41<a1a2>0 21 2 A半负定-A伴半正定 设A 22 A不定兮a142-2<0 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 A负定 −A正定, A半负定 −A半正定. , 21 22 11 12       = a a a a 设 A 0. 2 A不定  a11a22 − a12  11   a 0, 0. 21 22 11 12  a a a a