引理设是nXn正定对称矩阵,Q(x)=x'Ax是 相应二次型则存在常数a>0,使得 Qx)≥o Vx∈Rn 证:记单位球面S={x∈R"|= 易见S是R中的有界闭集 连续函数Q(x)在S上取到最小值.即存在n∈R",使得 o(n)=ming(x)=o 因为Q正定,n≠0,故a=Q(7)>0 Mx∈R",x≠0,有∈S,进而Q x 20,即Q(x)≥x 当x=0时显然.故得证 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 2 ( ) ' , 0, ( ) . n A n n Q x x Ax Q x x x R = 引理 设 是 正定对称矩阵, 是 相应二次型 则存在常数 使得 , | 1 . n 证:记单位球面S x R x = = n 易见 是 中的有界闭集. S R 连续函数 在 上取到最小值 Q x S ( ) . , n 即存在 使得 R ( ) min . ( ) x S Q Q x = = 因为 正定, ,故 Q Q = 0 0. ( ) , 0, , n x x R x S x 有 , x Q x 进而 2 即Q x x ( ) . 当 时显然 故得证. x = 0
定义:若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有 f(x,y)≤f(x0,y0)(或f(x,y)≥f(xo,y0) 则称函数在该点取得极大值极小值)极大值和极小值 统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点 例如 z=3x2+4y2在点(00)有极小值 x2+y2在点0极大值 z=xy在点(0,0)无极值 ⊙。8 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 x y z O x y z O x z O y (极小值)
例1已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且 f(x, y)-xy m 则(A) x->0 (4)点(0.0)不是f(x,y)的极值点 (B)点(00)是f(x,y)的极大值点 (C)点(0,0)是f(xy)的极小值点 (D)根据条件无法判断点(0,0)是否为f(x)的极值点 2003考研 提示由题设(xy)xy=1+a,其中ma=0 x->0 0 →f(x,y)=xy+(x2+y2)2+a(x2+y2)2 →在(0的邻近f(x,y)的正负由xy确定 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 提示: 由题设 例1. 已知函数 (D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点. 则( ) 的某个邻域内连续, 且 A (2003 考研)
定理1(必要条件)函数z=f(x,y)在点(x0,y0)存在 偏导数,且在该点取得极值,则有 (x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0 证:因z=f(x,y)在点(x0,y3)取得极值,故 z=f(x2y0)在x=x0取得极值 z=f(x0,y)在y=y取得极值 据元函数极值的必要条件可知定理结论成立 说明:使偏导数都为0的点称为驻点(稳定点) 但驻点不一定是极值点 例如,z=xy有驻点(0,0),但在该点不取极值 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点(稳定点) . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. ( , ) 0 , ( , ) 0 f x x0 y0 = f y x0 y0 = 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故
定义( Hesse矩阵) 设函数乙=f(x,y)在点P0(x0,y)的某邻域U(P)内 有一阶及二阶连续偏导数,记 A=f(x0,y0)B=f2(x0,y),C=J(x0,y) A B 并记B,()=|Bc 称为 Hesse矩阵 元函数)在P的Hes矩阵 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 设函数 z = f (x, y)在点 ( , ) 0 0 0 P x y 的某邻域 ( ) U P0 内 有一阶及二阶连续偏导数,记 ( , ), ( , ), ( , ) 0 0 0 0 0 0 A f x y B f x y C f x y = xx = xy = yy 0 ( ) f A B H P B C = 并记称为 矩阵 Hesse 定义 (Hesse矩阵) 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 0 0 0 ( ) ( ) n n n n n n x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x P f f f f f f H P f f f f n P Hesse = = 元函数 在 的 矩阵