§1一致收敛性 对于一般项是函数的无穷级数,其收敛性 要比数项级数复杂得多,特别是有关一致收 敛的内容就更为丰富,它在理论和应用上有 着重要的地位 函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛判别法 前页)看后页)(级回
前页 后页 返回 §1 一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛判别法 返回 对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性 要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收 敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有 着重要的地位. 一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性
函数列及其一致收敛性 设 f1,f2 2 ,Jng 是一列定义在同一数集E上的函数,称为定义在E 上的函数列.(1)也可记为 n}或fn,n=12 以x∈E代入(1),可得数列 f(x0,(x,…,fn(x)… 前页)后页)返回
前页 后页 返回 一、函数列及其一致收敛性 设 1 2 , , , , (1) n f f f 是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E 上的函数列. (1) 也可记为 { } , 1,2, . f f n n n 或 = 以 0 x E 代入 (1), 可得数列 1 0 2 0 0 ( ), ( ), , ( ), . (2) n f x f x f x
如果数列()收敛,则称函数列(1)在点x收敛,x称 为函数列(1)的收敛点.如果数列(2)发散,则称函数 列(1)在点x发散,当函数列(1)在数集DcE上每 点都收敛时,就称(1)在数集D上收敛.这时D上每 点x都有数列{n(x)的一个极限值与之相对应, 根据这个对应法则所确定的D上的函数,称为函数 列(1)的极限函数若将此极限函数记作,则有 imfr(x)=f(x),x∈D 前页)后页)返回
前页 后页 返回 0 x 0 如果数列(2)收敛, 则称函数列(1)在点 收敛, x 称 为函数列(1)的收敛点. 如果数列(2)发散, 则称函数 列(1)在点 0 x 发散. 当函数列(1)在数集 D E 上每一 点都收敛时, 就称(1)在数集 D 上收敛. 这时 D 上每 x { ( )} n 一点 都有数列 f x 的一个极限值与之相对应 , 根据这个对应法则所确定的 D 上的函数, 称为函数 列(1)的极限函数. 若将此极限函数记作f, 则有 lim ( ) ( ) , n n f x f x x D → =
或 f∫n(x)→>∫(x)(n→>∞),x∈D 函数列极限的E-N定义:对每一固定的x∈D,任 给正数6,总存在正数N注意:般说来N值与6和 x的值都有关,所以有时也用NE,x)表示三者之间 的依赖关系,使当n>N时,总有 Lf(x)-f(xa. 使函数列{fn}收敛的全体收敛点集合,称为函数列 八n}的收敛域 前页)后页)返回
前页 后页 返回 或 ( ) ( ) ( ) , . n f x f x n x D → → 函数列极限的 − N 定义: 对每一固定的 x D , 任 给正数 , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与 和 x 的值都有关, 所以有时也用N( , x)表示三者之间 的依赖关系), 使当 n N 时, 总有 | ( ) ( ) | . n f x f x − 使函数列 { }n f 收敛的全体收敛点集合, 称为函数列 { }n f 的收敛域
例1设fn(x)=x",n=1,2,为定义在(-∞,o)上的 函数列,证明它的收敛域是(-1,1,且有极限函数 f∫(x) ∫0,|xk<1, 证任给E>0(不妨设E<1,当0<x|<1时,由于 Lf,(x-f(x x', 只要取N(e,x) n a 当n>N(E,x)时,就有 nx lfn(x)-∫(x)|x|4x|=E 前页)后页)返回
前页 后页 返回 例1 ( ) , 1,2, , n n 设 为定义在(- ) f x x n = = 上的 函数列, 证明它的收敛域是 ( 1, 1] − , 且有极限函数 0, | | 1, ( ) 1, 1. x f x x = = 证 任给 不妨设 当 时 由于 0 ( 1), 0 | | 1 , x | ( ) ( ) | | |, n n f x f x x − = ln ( , ) , ( , ) ln | | N x n N x x 只要取 当 时,就有 = | ( ) ( ) | | | | | . n N n f x f x x x − = =