求函数z=f(x,y)极值的一般步骤: 第一步解方程组f2(x,y)=0,f(x,y)=0 求出实数解,得驻点 第二步对于每一个稳定点(x0,y0) 求出二阶偏导数的值A、B、C 第三步定出AC-B2的符号,再判定是否是极值 第四步考虑偏导数不存在的点 例如z=√x2+y2偏导数不存在0,0)极小值点 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 求函数z = f (x, y)极值的一般步骤： 第一步 解方程组 f (x, y) = 0, x f y (x, y) = 0 求出实数解，得驻点. 第二步 对于每一个稳定点( , ) 0 0 x y ， 求出二阶偏导数的值 A、B、C. 第三步 定出 2 AC − B 的符号，再判定是否是极值. 第四步 考虑偏导数不存在的点. 2 2 例如 偏导数不存在 极小值点． z x y = + ,(0,0)
例2.求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值 解:第一步求驻点 f(x,y)=3x2+6x-9=0 解方程组 fy(x,y)=-3y2+6y=0 得驻点:(1,0),(,2),(-3,0),(-3,2) 第二步判别求二阶偏导数 B C n(xy)=6x+6,1(xy)=0,y(xy)=6y+6 在点(1,0)处A=12,B=0,C=6 AC-B2=12×6>0.A>0, f(1,0)=-5为极小值 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 A B C 的极值. 求二阶偏导数 f (x, y) = 6x + 6, xx f (x, y) = 0, xy f (x, y) = −6y + 6 y y 12 6 0, 2 AC − B = A 0