例2、设f(x) P,(x) 其中P(x)和Qn(x)分别为 2m(x) n次和m次多项式,且Qn1(x)≠0, 解:对于常数函数∫(x)=C与函数g(x)=x,容易 从定义证明其连续性,然后由连续的四则运算 法则可以得到: lim f(x)=limon(r) P(xo) =f(x0) x-xo 2m(x)2m(o) ∫在x处连续
6 ( ) ( ) lim ( ) lim 0 0 Q x P x f x m n xx xx ( ) x0 f ( ) ( ) 0 0 Q x P x m n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n m m P x f x P x Q x Q x 例2、设 ，其中 和 分别为 0 ( ) 0 , n 次和 m 次多项式，且 Q x m 对于常数函数 f (x) = C 与 函数 g (x) = x ，容易 0 f x 在 处连续。 解： 从定义证明其连续性，然后由连续的四则运算 法则可以得到：
2)设有函数∫和g,x∈D4b=g(x)∈Dr 如果g在x连续,∫在山连续, 则∫。g在x0处连续。 证::=g(x)∈Cx)xx lim g(x)=g(o) lim u=uo 又∵y=f(u)在=g(x)处连续 limfg(x)l=limf(u)=f(uo) l-→>lo fk(xo)=∫°g(x 则∫。g在x0处连续
7 ( ) 0 ( ) u g x C x lim ( ) ( ) 0 0 g x g x x x lim ( ) 0 f g x x x ( ) u0 f ( ) g x0 f ( ) g x0 f x0 Dg u g x Df ( ) 0 0 lim ( ) 0 f u uu 2）设有函数 f 和 g ， 如果g 在 x0 连续，f 在 u0 连续， 0 则 f g x 在 处连续。 证： 0 0 lim x x u u 即 0 0 又 y f u u g x ( ) ( ) 在 处连续 0 则 f g x 在 处连续
、函数的间断点 函数∫在x连续的三个条件 1)f(x)在x=x0有定义 2)imf(x)存在(有限)}缺一不可 3)lim f(x)=f(ro) y→ 1、间断点的定义 函数∫在x连续的三个条件中有一个不满足, 则称函数∫在x=x处不连续即间断,并称x 为∫(x)的间断点(不连续点) 间断点有第一类、第二类间断点
8 二、函数的间断点 0 0 3) lim ( ) ( ) x x f x f x 函数 f 在 x0 连续的三个条件： 1）f (x) 在 x = x0 有定义 0 lim ( ) x x f x 2） 存在（有限） 缺一不可 1、间断点的定义 函数 f 在 x0 连续的三个条件中有一个不满足， 则称函数 f 在 x = x0 处不连续即间断，并称 x0 为 f (x) 的间断点（不连续点）. 间断点有第一类、第二类间断点
2、第一类间断点 1)可去间断点、定义imf(x)存在,但 0 imf(x)≠f(x0orf(x0)无意义。 /x0≤x< 例3、讨论函数f(x)=1x=1在x=1处 1+xx>1的连续性。 解:lim∫(x)=lim2x=2 x→1 y=1 lim f(x)=lim(1+x)=2 2√x f(r=lim f(x) x→)1 1f(x)=2 x→
9 o x y 1 1 2 y 1 x y 2 x 2、第一类间断点 1）可去间断点 x0 定义 0 lim ( ) x x f x 存在，但 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x or f (x0 ) 无意义。 1 1 1 0 1 1 2 ( ) x x x x x 例3、讨论函数 f x 在 x = 1 处 的连续性。 解： lim ( ) 1 f x x x x lim2 1 2 lim ( ) 1 f x x lim(1 ) 1 x x 2 lim ( ) 1 f x x 1 lim ( ) x f x 1 lim ( ) x f x 2
而f(1)=1limf(x)≠∫(1) x→)1 f(x)在x=1处不连续,为可去间断点。 注意可去间断点可对间断点补充或调整使之连续。 若x=x是∫(x)的可去间断点,可构造 x≠x0 F(x)=lim∫(x)X=x"(x)在x=x连续。 x→>x0 如上例,令∫(1)=2 2√x0≤x<1 则f(x) 1+xy≥1 在x=1处连续。 10
10 lim ( ) (1) 1 f x f x 而 f (1) 1 f x( ) 在 x = 1 处不连续，为可去间断点。 注意 可去间断点可对间断点补充或调整使之连续。 若 x = x0 是 f (x) 的可去间断点，可构造 lim ( ) ( ) ( ) 0 f x f x F x x x x x0 x x0 F (x) 在 x = x0 连续。 如上例，令 f (1) 2 2 0 1 ( ) 1 1 x x f x x x 则 在 x = 1 处连续。 o x y 1 1 2