欧拉一身经历坎坷。他于1707年生于瑞土 巴塞尔,20年后却永远离开了祖国。在他76年 的生命历程中,还有25年住在德国柏林(1741 1766年),其余时间则留在俄国彼得堡。 欧拉31岁时右眼失明,59岁时双目失明 欧拉( Euler) (1707~1783) 他的寓所和财产曾被烈火烧尽(171年),与 他共同生活40年的结发之妻先他10年去世。 欧拉声誉显赫。12次获巴黎科学院大奖(1738-1772年) 曾任彼得堡科学院、柏林科学院、伦敦皇家学会、巴塞尔物理 数学会、巴黎科学院等科学团体的成员
欧拉一身经历坎坷。他于1707年生于瑞士 巴塞尔，20年后却永远离开了祖国。在他76年 的生命历程中，还有25年住在德国柏林（1741 －1766年），其余时间则留在俄国彼得堡。 欧拉31岁时右眼失明，59岁时双目失明。 他的寓所和财产曾被烈火烧尽（1771年），与 他共同生活40年的结发之妻先他10年去世。 欧拉声誉显赫。12次获巴黎科学院大奖（1738－1772年） 曾任彼得堡科学院、柏林科学院、伦敦皇家学会、巴塞尔物理 数学会、巴黎科学院等科学团体的成员
欧拉成就卓著。生前就出版了560种论著,另有更多未 出版的论著。仅仅双目失明后的17年间,还口述了几本书 和约400篇论文。欧拉是目前已知成果最多的数学家。 欧拉聪明早慧,13岁入巴塞尔大学学文科,两年后获学 土学位。第二年又获硕士学位。后为了满足父亲的愿望,学 了一段时期的神学和语言学。从18岁开始就一直从事数学研 究工作。 欧拉具有超人的计算能力。法国天文学家、物理学家阿 拉哥(D.F. J Arago,1786-1853)说:“欧拉计算一点也不 费劲,正像人呼吸空气、或像老鹰乘风飞翔一样
欧拉成就卓著。生前就出版了560种论著，另有更多未 出版的论著。仅仅双目失明后的 17 年间，还口述了几本书 和约400篇论文。欧拉是目前已知成果最多的数学家。 欧拉聪明早慧，13岁入巴塞尔大学学文科，两年后获学 士学位。第二年又获硕士学位。后为了满足父亲的愿望，学 了一段时期的神学和语言学。从18岁开始就一直从事数学研 究工作。 欧拉具有超人的计算能力。法国天文学家、物理学家阿 拉哥（D. F. J. Arago，1786－1853）说：“欧拉计算一点也不 费劲，正像人呼吸空气、或像老鹰乘风飞翔一样
有一次,欧拉的两个学生计算一个复杂的收敛级数的 和,加到第17项时两人发现在第50位数字相差一个单位。 为了确定究竟谁对,欧拉用心算进行了全部运算,准确地 找出了错误。特别是在他双目失明后,运用心算解决了使 牛顿头疼的月球运动的复杂分析运算。 欧拉创用a,b,c表示三角形的三条边,用A,B,C 表示对应的三个角(1748);创用Σ表示求和符号(1755); 提倡用π表示圆周率(1736);1727年用e表示自然对数 的底还用y表示差分等等 十八世纪四十年代,欧拉的一些著作就已传到中国 如他在1748年出版的《无穷分析引论》
有一次，欧拉的两个学生计算一个复杂的收敛级数的 和，加到第17 项时两人发现在第 50 位数字相差一个单位。 为了确定究竟谁对，欧拉用心算进行了全部运算，准确地 找出了错误。特别是在他双目失明后，运用心算解决了使 牛顿头疼的月球运动的复杂分析运算。 欧拉创用 a，b，c 表示三角形的三条边，用 A，B，C 表示对应的三个角( 1748 )；创用 表示求和符号 ( 1755 )； 提倡用 表示圆周率（1736）；1727年用 e 表示自然对数 的底；还用y 表示差分等等。 十八世纪四十年代，欧拉的一些著作就已传到中国， 如他在1748年出版的《无穷分析引论》
2.数列极限的夹逼定理 设数列{xn}{yn}{zn}满足下列关系: (1)yn≤xn≤En,n∈Z(或从某一项开始); n>+oo n lim z m y n→>+oo 则limx.=a 想想:如何证明夹逼定理?
2.数列极限的夹逼定理 设数列 { xn}, { yn}, { zn} 满足下列关系: (2) lim y lim z a, n n n n = = →+ →+ 则 xn a n = →+ lim (1) yn xn zn , n Z + (或从某一项开始) ; 想想：如何证明夹逼定理?
因为imyn=1imzn=a,所以 VE>0,彐M1>0,当n>N时,yn-al<s, VE>0,彐N2>0,当n>N2时,|En-a|<E 取N=max{N12N2},则当n>N时,有 Ly-a<e, z a<8 已知yn≤xn≤Enn∈z(或从某一项开始),故有 a-E<yn≤xn≤En<a+E(n>N) 即当n>N时,有一E<x-a<E、由极限定义得 limx =a
因为 lim y limz a, 所以 n n n n = = → → 0, 0, , | | , 1 N n N y − a 当 时 n 0, 0, , | | , 2 2 N n N z − a 当 时 n max{ , }, , 取 N = N1 N2 则当 n N 时 有 | y − a | , | z − a | . n n 已知 yn xn zn nZ + (或从某一项开始), 故有 a y x z a (n N) − n n n + 即当 n N 时, 有 − xn − a , 由极限定义得 lim x a. n n = →+