例2求lim ∴ n→)+0 √n2+1√n2+2 √n2+n 解由于 vn+n n2+1 +2 In-+n +1 而lim lim n)+√n+n n++∞√n2+1 想得通吧? 故Iim ∴ n)+L√n2+1√n2+2 n tn
解 . 1 2 1 1 1 lim 2 2 2 + + + + + n→+ n + n n n 求 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 + + + + + + + + n n n n n n n n n lim 1, 2 = →+ n + n n n 而 1 1 lim 2 = →+ n + n n 由于 1 1 2 1 1 1 lim 2 2 2 = + + + + + n→+ n + n n n 故 例2 想得通吧？
例3求lim Z n→>+n 解由于0<n=1.2.3.…-1.n≤1 nn nn 而lim 0.lim0=0 n→)+0 23 n→)+0 均小于1 故lim n!=0 n>+oon
解 , . ! lim + →+ n Z nn n n 求 , 1 1 ! 1 2 3 0 n n n nn n n n n nn − 由于 = 1. 1 , , 3, 2 均小于 nn n n − 0, lim 0 0, 1 lim = = n →+ n n →+ 而 0. ! lim = →+ n n nn 故 例 3
例4求lim(1+2”+3”)y n→>+0 解(1+2+3″)n=3 +1 3 n 而1< +1<3 故3<(1+2+3)y<33,夹逼定理 又lim(3·3)=3, n→>+00 由夹逼定理,得lim(1+2″+3")=3 n→)+00
lim (1 2 3 ) . 1 n n n n + + →+ 求 1 3 2 3 1 (1 2 3 ) 3 1 1 n n n n n n + + + + = 1 3, 3 2 3 1 1 + + n n 而 3 (1 2 3 ) 3 3 , 1 1 n n n n 故 + + lim (3 3 ) 3, 1 = →+ n n 又 , lim (1 2 3 ) 3. 1 + + = →+ n n n n 由夹逼定理 得 夹逼定理 例4 解
22 例5求lim1++ 请自己做! n→)+ nn 解当n>1时 2 2 2 1+-<1+二+二<1+=+ 1+ nn(n 1) 22 2 故 <1+-+ <1+ 2 n 2 n 而im1+ lim 1+ n→)+ n→)+o 故lim1+=+ e 夹逼定理 n→)+ n n
例5 . 2 2 lim 1 2 n n n n + + →+ 求 解 当 n 1 时, 2 2 1 2 n n + + , 1 2 1 2 2 1 2 1 2 n n n n n n n − + + + 故 + , 1 2 , lim 1 2 lim 1 2 2 e n e n n n n n = − = + + →+ →+ 而 . 2 2 lim 1 2 2 e n n n = + + →+ 故 夹逼定理 请自己做! + n 1 1 , 1 2 1 ( 1) 2 2 1 − = + − + + n n n n
有界数列的重要性质 完理由任何有界数列必能选出收敛的子数列 设数列{xn}有界:a≤xn≤b 将区间[a,b二等分,则其中至少有一个小区间 含有数列{xn}的无穷多项,记为[a1,b1] 再将[1,b]二等分,又可得到一个含有数列无穷 多项的新的小区间[a2b2] 如此下去.可得到无穷多个含数列无穷多项的小 区间且每一个小区间都被包含前一个小区间内
有界数列的重要性质 由任何有界数列必能选出收敛的子数列. {x } : a x b. 设数列 n 有界 n { } , [ , ]. [ , ] , a1 b1 x a b 含有数列 n 的无穷多项 记为 将区间 二等分 则其中至少有一个小区间 [ , ]. [ , ] , 2 2 1 1 a b a b 多项的新的小区间 再将 二等分 又可得到一个含有数列无穷 , . , 区间 且每一个小区间都被包含前一个小区间内 如此下去 可得到无穷多个含数列无穷多项的小 定理