类似地,有 n+ n+1 n+1 2 1+1+ +1)3! n+ +1 2 n+1 n+1 n+ (n+1)n+1八n+1 n+1
类似地, 有 1 1 1 1 1 + + + = + n n n x 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ! 1 + − − + − + + − n n n n n 1 1 1 2 1 1 1 1 ( 1)! 1 + − + − + − + + n n n n n + + − + + − + = + + − 1 2 1 1 1 1 3! 1 1 1 1 2 1 1 1 ！ n n n
比较xn与xn+1的展开式可以看出除前面 两项外,x的每一项都小于xn1的对应项,并且 n 还多了最后的大于零的项,因此 n+ n n 即{xn}是单调增加的
比较 xn 与 xn+1 的展开式可以看出, 除前面 两项外, xn 的每一项都小于xn+1 的对应项,并且 xn+1 还多了最后的大于零的一项, 因此 n n+1 x x 即{ }是单调增加的. n x
又xn=1+1+1 +-1 2! 3! 每个括号 小于1 + 放大不等式 1+1++-+∵+ 2!3! <1+1++2+…+ 等比数列求和 1+ <3 从而{xn}有界
+ − + − = + + − n n n xn 2 1 1 1 3! 1 1 1 2 1 1 1 ！ 1 1 2 1 1 1 ! 1 − − − + − n n n n n 又 ! 1 3! 1 2! 1 1 1 n + + + ++ 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 − + + + + + n 3, 2 1 3 2 1 1 2 1 1 1 1 = − − − = + n− n 等比数列求和 放大不等式 从而{ }有界. n x 每个括号 小于 1
综上所述,数列{xn}是单调增加且有上 界的,由极限存在准则可知,该数列的极限 存在、通常将它纪为e,即 lim 1+ n→+o e称为欧拉常数 e=2.718281828459045 以e为底的对数称为自然对数记为:y=nx
综上所述, 数列{xn}是单调增加且有上 界的, 由极限存在准则可知, 该数列的极限 存在, 通常将它纪为 e, 即 . 1 lim 1 e n n n = + →+ e 称为欧拉常数. e = 2.718281828459045 以 e 为底的对数, 称为自然对数, 记为: y = ln x
e的计算公式为 16 e=1+-+-++…+—+ 1!2!3 n!n·n 其中.0<6<1
! ! 1 3! 1 2! 1 1! 1 1 n n n e e = + + + + + + 的计算公式为 其中, 0 1