2008年全国研究生统一考试代数部分试题 设a≠0,B≠0, 设齐次线性方程组ax=0的基础解系为 1552 齐次线性方程组x=0的基础解系为 由于4个3维向量线性相关,存在不全为零 的常数k1k2,l1,l2使得 k51+k252+l1m1+l272=0, 令y=k151+k22=-1m1-l22,显然 ≠0,且 Ay=(aa+BB )y=0, 即齐次线性方程组Ax=0有非零解,所以 r(A)≤2 证法8:令A1=a2a1a2a2a3, a3,a32a5 若a1=0,则
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 11 设α ≠ 0 0 , β ≠ ， 设齐次线性方程组 0 T α x = 的基础解系为 , 1 2 ξ ξ ， 齐次线性方程组 0 T β x = 的基础解系为 , η1 η2， 由于４个３维向量线性相关，存在不全为零 的常数 , , , 使得 1 2 1 k k l l2 1 1 2 2 1 1 2 2 k k ξ + + ξ ηl + l η = 0， 令 1 1 2 2 1 1 2 2 γ = + k k ξ ξ = −l η − l η ，显然 γ ≠ 0，且 ( ) 0 T T Aγ = + αα ββ γ = ， 即齐次线性方程组 Ax = 0有非零解，所以 r A( ) ≤ 2． 证法 8：令 2 1 1 2 1 3 2 1 2 1 2 2 2 3 1 3 2 3 a a a a a A 3 a a a a a a a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ， 若 ，则 1 a = 0
008年全国研究生统一考试代数部分试题 000 000 0 a 若a1≠0,则 3 000 31a32 000 总之,r(A1)≤1 同理,r(A,)≤1, 于是(4)=r(A1+A2) ≤r(A1)+r(A2)≤1+1=2 证法9:由于r(AA)=r(AA), 所以r(aa)=r(a'a)≤1. 于是 r(A=raa+ BB sr(a)+r(6B)≤1+1=2 证法10:令 a=(a12a2a3),=(b1,b2,b)
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 12 2 1 2 2 3 2 2 3 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A a a a a a a a ⎛ ⎞ ⎛ 3 0 0 a ⎞ → → ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ， 若 ，则 1 a ≠ 0 1 2 3 1 2 2 1 2 1 2 2 3 2 3 1 3 2 3 0 0 0 0 0 0 a a a a a a A a a a a a a a a a a ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ → → ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 . ， 总之， ( ) ． 1 r A ≤ 1 同理， ( ) ， 2 r A ≤ 1 于是 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 r A r A A r A r A = + ≤ + ≤ + = 证法 9：由于 ( ) ( ) T T r AA = r A A ， 所以 ( ) ( ) 1 T T r r αα α = ≤ α ． 于是 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 T T T T r A r r r αα ββ αα ββ = + ≤ + ≤ + = ) ． 证法 10：令 ( , , ), ( , , 1 2 3 1 2 3 T T α = = a a a β b b b