《微积分、线性代数》考研知识点解析：第8讲 广义积分阶段综合问题

2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 第8讲广义积分阶段综合问题 81广义积分的定义及收敛性 定积分研究的问题:有界函数在有界区间上的积分 广义积分研究的问题:有界函数在无界区间上的积分(第1类).无界函 数在有界区间上的积分(第2类) 定义8.1(第一类广义积分)设函数f(x)在[a,+∞)内的任意有限区间可积 并且极限im[∫(x)dx存在,则称f(x)在[a,+∞)广义积分收敛,其 广义积分为厂f(x)=mJ(x),若不收敛则称广义积分发散 定义8.2(第二类广义积分)设函数f(x)在[a,b)内的任意有限闭子区间可 积,并且极限1im「fx存在,则称f(x)在ab)上的广义积分 收斂其广义积分为 ∫r(x)tx=limJ”f(x)k 同样我们可以定义其它广义积分的收敛性 f(x)x=1m「fx)x,「f(xlx=lmn「f(x)lx。 A→a 82收敛性的判断准则 8.2.1第一类广义积分收敛性的判断准则 准则81若第一类广义积分∫(x)收敛则厂。f(x)x定收敛 此时称f(x)dx绝对收敛 当厂f(x)收敛,而「(x)方发散时称广义积分条件收敛 准则82若[a+∞)变限积分f()d单调有界,则f(x)dx-定收 斂。特别,非负函数f(x)在[a+0)上有界,则f(x)x一定收敛。 准则8.3(直接比较法)非负函数0≤f(x)≤g(x),x∈[a,+∞),若 g(x)收敛,∫”f(x)一定收歙;若「f(x)发散 g(x)dx一定发散 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com 电话82378805

2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 第 8 讲 广义积分 阶段综合问题 8.1 广义积分的定义及收敛性 定积分研究的问题: 有界函数在有界区间上的积分. 广义积分研究的问题: 有界函数在无界区间上的积分（第 1 类）.无界函 数在有界区间上的积分（第 2 类）。 定义 8.1 (第一类广义积分)设函数 f (x) 在[a,+∞) 内的任意有限区间可积, 并且极限 ∫ 存在, 则称 在 →+∞ A A a lim f (x)dx f (x) [a,+∞) 广义积分收敛,其 广义积分为 ，若不收敛,则称广义积分发散。 ∫ ∫ →+∞ +∞ = A a A a f (x)dx lim f (x)dx 定义 8.2 (第二类广义积分)设函数 在 内的任意有限闭子区间可 积, 并且极限 存在, 则称 在 上的广义积分 收敛,其广义积分为 f (x) [a,b) − ∫ → B B b a lim f (x)dx f (x) [a,b) ∫ − ∫ → = B B b a b a f (x)dx lim f (x)dx 。 同样我们可以定义其它广义积分的收敛性: ∫ ∫ −∞ →−∞ = a A A a f (x)dx lim f (x)dx , 。 ∫ + ∫ → = b A a A b a f (x)dx lim f (x)dx 8.2 收敛性的判断准则 8.2.1 第一类广义积分收敛性的判断准则 准则 8.1 若第一类广义积分 ∫ +∞ a f (x) dx 收敛,则 一定收敛, 此时称 绝对收敛. ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a f (x)dx 当 ∫ 收敛，而 +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a f (x) dx 方发散时,称广义积分条件收敛. 准则 8.2 若 变限积分 单调有界，则 一定收 敛。特别，非负函数 在 上有界，则 一定收敛。 [a,+∞) ∫ x a f (t)dt ∫ +∞ a f (x)dx f (x) [a,+∞) ∫ +∞ a f (x)dx 准 则 8.3( 直接比较 法)非负函 数 0 ≤ f (x) ≤ g(x), x ∈[a,+∞) , 若 收敛, 一定收敛; 若 发散, 一定发散. ∫ +∞ a g(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 1 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805

2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 准则84(极限比较法)设f(x),g(x)[a,+∞)内的任意有限区间可 积,g(x)非负,且limf(x)=A,则 x→g(x) )当2≠0时,广义积分”f(x)与厂g(xk有相同的敛散性; ()当=0时,广义积分”g(x)收则「f(x)收敛; ()当A=∞时,广义积分f(x)收敛则厂8(x)收敛 准则8.5(尺度法 bx女x(>0)当p>1时收敛当p≤1时发散 因此,若imxf(x)=220,且P>1,则.f(x)x收敛。 例8.1判断 xInx =dx的收敛性 【解】由 lim Inx 0,存在X>0,使得当x>X>0时,lnx< xInx< >1,由直接比较法,收敛 arctan x 例82判断 dx的收敛性 解】与「比教,由极限比较法:∫" arctan xdx收敛 例8.3判断 的收敛性 解】xinx=mx30(x→+),因此P>1时厂在一收做 P=1时,∫ xInx p<1时,与厂比较,可知lm 因此答案为:P≥1时收敛,p<1时发散。 8.22第二类广义积分收敛性的判断准则 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor 电话82378805

2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 准 则 8.4( 极限比较 法 ) 设 f (x), g(x) [a,+∞) 内的任意有 限区间可 积, g(x) 非负, 且 = λ →+∞ ( ) ( ) lim g x f x x , 则 (1) 当λ ≠ 0 时, 广义积分 与 有相同的敛散性; ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx (2) 当λ = 0 时, 广义积分 ∫ 收敛则 收敛; +∞ a g(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx (3) 当λ = ∞时, 广义积分 收敛则 收敛. ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx 准则 8.5 （尺度法） dx x a ∫ p +∞ 1 (a > 0) 当 p >1时收敛;当 p ≤1时发散. 因此，若 lim ( ) = ≥ 0 ,且 ,则 收敛。 →+∞ x f x λ p x p >1 ∫ +∞ a f (x)dx 例 8.1 判断 dx x x x ∫ +∞ + 1 5 1 ln 的收敛性. 【解】 由 0 ln lim 3 = →+∞ x x x ，存在 X > 0 ，使得当 x > X > 0 时， 3 ln x < x ， 1 6 7 , 1 1 ln 5 3 5 = > + < + p x x x x x x ，由直接比较法，收敛. 例 8.2 判断 dx x x x x ∫ +∞ + + 1 2 1 arctan 的收敛性. 【解】与 dx x ∫ +∞ 1 2 1 比较，由极限比较法， dx x x x x ∫ +∞ + + 1 2 1 arctan 收敛. 例 8.3 判断 ∫ +∞ e p x x dx 2 ln 的收敛性. 【解】 = → ( ) x → +∞ x x x x p p 0 ln 1 ln2 2 ，因此 p > 1时 ∫ +∞ e p x x dx 2 ln 收敛. p = 1时， ∫ +∞ →+∞ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − e B B e x x x dx 1 ln 1 lim ln2 ， p <1时，与 ∫ +∞ e x dx 比较，可知 x n x p x 1 2 1 lim − →+∞ = +∞ ， 因此答案为： p ≥1时收敛， p <1时发散。 8.2.2 第二类广义积分收敛性的判断准则 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 2 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805

2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 准则86若第二类广义积分广(x收敛∫f(x)b一定收敛,此时 称」f(x)d绝对收敛」f(x)x收敛而(x)方发散则称广义积 分条件收敛 准则87(直接比较法)非负函数0≤f(x)≤g(x),x∈[a,b),若 g(x)d收敛,f(x)d一定收敛;若f(x)d发散,g(x)dr- 定发散 准则8.8函数(极限比较法)∫(x)g(x)在[{a,b)内的任意区间上可 积,g(x)非负,且1im∫(x)=A,则 1)当A≠0时,广义积分f(x)d与g(x)有相同的敛散性 (2)当λ=0时,广义积分g(x)收敛则f(x)d收敛 (3)当=∞时,广义积分f(x)x收敛则」g(x)d收敛 准则8.9(尺度法 dx当p<1收敛,p≥1时发散.因此,若 i(x-b)f(x)=λ≥0,且p<1,则[∫(x)d收敛。 例84判断广义积分 dx的收敛性 【解】 . sIn 2√Snx 第一个积分显然收敛,对第二个积分令x-丌=t,ax=dt, —dx=-√sin dt ,收敛 sinx 例85计算∫ dx (1+5x2) 【解】取变换x=tanl,as、 则 1+ 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor 电话82378805

2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 准则 8.6 若第二类广义积分 ∫ b a f (x) dx 收敛, 一定收敛, 此时 称 绝对收敛. 收敛而 ∫ b a f (x)dx ∫ b a f (x)dx ∫ b a f (x)dx ∫ b a f (x) dx 方发散,则称广义积 分条件收敛. 准 则 8.7 (直接比较法)非负函数 0 ≤ f (x) ≤ g(x), x∈[a,b) , 若 收敛, 一定收敛; 若 发散, 一 定发散. ∫ b a g(x)dx ∫ b a f (x)dx ∫ b a f (x)dx ∫ b a g(x)dx 准则 8.8 函数(极限比较法 ) 在 内的任意区间上可 积, 非负, 且 f (x), g(x) [a,b) g(x) = λ → − ( ) ( ) lim g x f x x b , 则 (1) 当λ ≠ 0 时, 广义积分 与 有相同的敛散性; ∫ b a f (x)dx ∫ b a g(x)dx (2) 当λ = 0 时, 广义积分 收敛则 收敛; ∫ b a g(x)dx ∫ b a f (x)dx (3) 当λ = ∞时, 广义积分 收敛则 收敛. ∫ b a f (x)dx ∫ b a g(x)dx 准则 8.9（尺度法） dx x b b a ∫ p ( − ) 1 当 p <1收敛， 时发散. 因此，若 ,且 ,则 ∫ 收敛。 p ≥1 lim( − ) ( ) = ≥ 0 → − x b f x λ p x b p <1 b a f (x)dx 例 8.4 判断广义积分 dx x ∫ π 0 sin 1 的收敛性. 【解】 dx x ∫ π 0 sin 1 dx x dx x ∫ ∫ = + π π π 2 2 0 sin 1 sin 1 ， 第一个积分显然收敛，对第二个积分令 x −π = t, dx = dt ， dx x dt t dx x ∫ ∫ ∫ = − = 2 0 0 2 2 sin 1 sin 1 sin 1 π π π π ，收敛. 例 8.5 计算 ∫ +∞ + + 0 2 2 (1 5 ) 1 1 dx x x 。 【解】取变换 2 1 tan , t dt x t dx + = = ，则 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 3 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805

2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 sec t dt 01+5tan't 01+4sin2t2 arctan(2sin(2=-arctan2 2 例8.6设常数a>0,若 则 【解】 arctan a= arctan a, arctan=-.a=1 例8.7计算 arctan x 【解】 arctan xd() =--arctanx dx +li x 1+x +lim [=In(1+6-)+=In 2] In 2 例88 ct·tant d=12dt=或令x 用凑微分法,则 dx (--2)dt dt= arcsin= 例89广义积分 答案:- arccose 【解】取变换e=sect,则 x= In(sect ), e dx= sect tan tdt tan t -dt=--arccose= arcsine 例8.10计算广义积分∫xlm”xd 【解】采用分部积分,即有 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor 电话82378805

2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 ∫ + = 2 0 2 1 5 tan sec π dt t t I arctan 2 2 1 arctan(2sin ) 2 1 1 4sin sin 2 0 2 0 2 = = + = ∫ π π t t d t 例 8.6 设常数 a > 0 ,若 ∫ ∫ +∞ + = + a a dx x dx x 2 0 2 1 1 1 1 ,则 a = 。 【解】 a arctan a 2 arctan = − π ， , 1 4 arctan a = a = π . 例 8.7 计算 ∫ +∞ 1 2 arctan dx x x . 【解】 ) 1 arctan ( arctan 1 1 ∫ 2 ∫ +∞ +∞ = − x dx xd x x ∫ +∞ +∞ + = − + 1 1 2 (1 ) 1 1 dx x x arctanx x dx x x x b b ) 1 1 lim ( 4 2 1 + = + − ∫ →+∞ π ln 2] 2 1 ln(1 ) 2 1 lim[ln 4 2 = + − + + →+∞ b b b π ln 2 2 1 4 = + π 例 8.8 ∫ +∞ = − 1 2 x x 1 dx 。 【解】 ∫ ∫ ∫ +∞ = = = ⋅ ⋅ = − 1 2 0 2 0 sec 2 sec tan 2 sec tan 1 π π π dt dt t t t t x x dx x t 或令 t x 1 = ， 用凑微分法，则 ∫ ∫ − − = − +∞ 0 1 2 2 1 2 ) 1 ( 1 1 1 dt t t t x x dx ∫ = = − = 1 0 2 0 2 1 arcsin 1 1 π dt t t . 例 8.9 广义积分 = − ∫ +∞ 1 2 1 x e dx . 答案： 1 arccos 2 − − e π . 【解】取变换e t ，则 x = sec x t e dx t tdt x = ln(sec ), = sec tan ， 1 1 2 arccos arccos arcsin tan 2 tan 1 − − = = − = ∫ − dt e e t t I e π π 例 8.10 计算广义积分 x xdx 。 n ∫ 1 0 ln 【解】 采用分部积分，即有 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 4 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805

2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 1=2x2m”x-2 x"-x.dx=-2- n (-1)"n! 2 或l n 补1.(20072-18)(本题满分1)设D是位于曲线y=√xa2(a>1,0≤x≤+∞)下方 x轴上方的无界区域 (I)求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a) (Ⅱ)当a为何值时,V(a)最小?并求此最小值 Ina x In a 【解】(I)(a)= r.xa adx=r n”1+∫x a--Ina -In a In a (I)W(u、2m2 令V'(a)=0得唯一驻点a=e,V(a)在a=e两侧变 In a In3 号,且为先正后负,所以V(e)=e2r为最小值 8.3阶段复习综合问题 定积分定义在考研中的应用用于求特定极限 运用定积分求极限用公式为m=∑na+b=)=(x 其中k=∫(5k) =△ 例8.11求极限lim。答案:-。(清华大学考研辅导班2004强化班例题) 【解】记ynn ,则1my=lm2=1∑mk-lmn, k=1 或记为 lnyn=C∑lk-mln)=∑(k-lnn)=∑mn, n k=l n 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 5www.tsinghuatutor.com 电话82378805

2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 1 1 0 2 1 1 0 2 2 1 ln 2 1 ln 2 1 − − = − ⋅ = − ∫ n n n n I n dx x I x x x n x 2 1 2 ( 1) ! 2 1 2 − + − ⎟ = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − n n n n I n n L . 或 1 1 2 , 4 1 = − n = − n− I n I I 。 补 1. （2007-2-18）（本题满分 11）设 D 是位于曲线 ( 1, 0 ) 2 = > ≤ ≤ +∞ − y xa a x a x 下方、 x 轴上方的无界区域。 （Ⅰ）求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积V (a) ； （Ⅱ）当 a 为何值时，V (a) 最小？并求此最小值。 【解】（Ⅰ） a x a xe d a a V a xa dx a a x a x ln ln ( ) 0 ln ∫0 ∫ +∞ − +∞ − = π = π a a x xde a a ln 0 ln +∞ − ∫ = π ∫ +∞ − +∞ − − = − + 0 ln 2 2 0 ln ln ln ln x a a e d a a e a ax a a x a a x π π a a e a a a a x 2 2 0 ln 2 2 ln ln 0 π = − π = +∞ − （Ⅱ）V ′(a) a a a a 2 3 ln 2 ln 2π π = − ，令V ′(a) = 0 得唯一驻点a = e， 在 两侧变 号，且为先正后负，所以 为最小值。 V (a) a = e π 2 V(e) = e 8.3 阶段复习综合问题 定积分定义在考研中的应用 用于求特定极限 运用定积分求极限常用公式为 ∑ ∫ = − + − = →∞ b a n k k f x dx n b a f a n b a lim ( ) ( ) 1 n 。 其中 ( ) k k f n b a = ξ − ， k x n b a = ∆ − 。 例 8.11 求极限 n n n ! limn→∞ 。答案： e 1 。（清华大学考研辅导班 2004 强化班例题） 【解】 记 n n y n n ! = ，则 k n n n n y n k n n ln ln ! 1 ln ln 1 = = ∑ − = ， 或记为 ( ln ln ) 1 ln 1 k n n n y n k n = ∑ − = (ln ln ) 1 1 k n n n k = ∑ − = ∑= = n k n k n 1 ln 1 ， 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 5 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805