2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 第7讲定积分的应用综合例题 7.1定积分应用的两种思想 定积分应用问题的特征 解决定积分应用问题的两种思路: 元素相加法:利用定积分定义一个量。 分小取近似 fsx 求和取极限:1=∑/(5)Ax=f(x 微元分析法:通过分析末知函数的增量求出其徽分的方法。 分小取微分:M≈dI=f(x)x 积分求增量:=f(x)x=F(b)-F(a) 7.2定积分在几何方面的应用 7.2.1平面区域的面积 直角坐标系中平面区域的面积D={(x,y)≤x≤b,(x)≤y≤g(x) A=Tg(x)-f(x)]x 注:若连续函数f(x)在区间ab上变号,则A=/(x)表示正负面积的代数和,有时 称为代数面积。 例71求y=与y=x+-围成的面积 【解】由2,解得交点a=-1,b=3。A=[x+÷-x 16 y=x+- 例72求非负常数a,使y=x-x2与y=ax所围封闭区域之面积为 【解当0<a<1时,(x-x2-am)d= a= <0(舍 谭泽光刘坤林编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 第 7 讲 定积分的应用 综合例题 7. 1 定积分应用的两种思想 z 定积分应用问题的特征： z 解决定积分应用问题的两种思路： 元素相加法： 利用定积分定义一个量。 分小取近似: ( )i i ∆I ≈ f ξ ∆x ; 求和取极限: ∑ ∫ = ∆ = = → b a n i i i I lim f ( ) x f (x)dx 1 0 ξ λ 微元分析法: 通过分析末知函数的增量求出其微分的方法。 分小取微分: ∆I ≈ dI = f ( ) x dx ; 积分求增量: I f (x)dx F(b) F(a) . b a = = − ∫ 7. 2 定积分在几何方面的应用 7.2.1 平面区域的面积 直角坐标系中平面区域的面积 D = {(x, y) a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g(x)} [ ] ∫ = − b a A g(x) f (x) dx 。 注：若连续函数 在区间 上变号，则 表示正负面积的代数和，有时 称为代数面积。 f (x) [a,b] ∫ = b a A f (x)dx 例 7.1 求 2 2 x y = 与 2 3 y = x + 围成的面积. 【解】 由 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = + = 2 3 2 2 y x x y ，解得交点 a = −1,b = 3 。 3 16 2 2 3 3 1 2 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + − ∫− dx x A x 。 例 7.2 求非负常数 a ，使 与2 y = x − x y = ax 所围封闭区域之面积为 4 9 。 【解】 当0 < a <1时， 4 9 ( ) 1 0 2 − − = ∫ −a x x ax dx ， 0 2 3 1 3 a = − < （舍） 谭泽光 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 1 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 当a21时,」(x-x2-ax9 1+ 2.参数方程下区域的面积 设区域的边界由曲线 L:{=0)(≤4s确定,其中0)0连续可号,02,则区域的面积 y=y(1) 为A=y()x()d。 例73求椭圆+=1围的区域的面积 【解】解法一第一象限部分的边界为 0≤x≤3, A=4 x dx=242 cos tdt=6T 解法二椭圆。+个4=1的参数方程为 x=3cost,y=2sint,0≤t≤ A=4yt=4(d(0=423n(-3=6r 3极坐标系下区域的面积 设区域D为(x= p cos p,y= psin),D=(x,y)≤g≤B0≤p≤p()} 则其面积为A=nlp(k 例74求心形线r=a(1+cosq)(a>0)所围的面积 解】4=1"r(oMe=r(oko 4a cos'ydo=8a2cos* tdr 例75已知曲线y=a√x(a>0)与曲线y=ln√x在点(x,y)处有公切线。 (1)求常数a及切点之坐标值 谭泽光刘坤林编水木艾迪考研培训网 2www.tsinghuatutor.com 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 当 a ≥1时， 4 9 ( ) 0 1 2 − − = ∫ −a x x ax dx ， 3 2 3 a =1+ . 2. 参数方程下区域的面积 设区域的边界由曲线 ( ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ = = α t β y y t x x t L ( ) ( ) : )确定, 其中 连续可导, , 则区域的面积 为 。 x(t), y(t) y(t) ≥ 0 ∫ = ′ β α A y(t)x (t)dt 例 7.3 求椭圆 1 9 4 2 2 + = x y 围的区域的面积. 【解】解法一 第一象限部分的边界为 9 , 0 3 3 2 2 y = − x ≤ x ≤ , π π 9 24 cos 6 3 2 4 2 0 2 1 0 2 = − = = ∫ ∫ A x dx tdt 。 解法二 椭圆 1 9 4 2 2 + = x y 的参数方程为 4 3cos , 2sin , 0 π x = t y = t ≤ t ≤ ， ∫ ∫ = = 0 2 3 0 4 4 ( ) ( ) π A ydx y t dx t 4 π 2sin ( 3sin ) 6π 0 2 = − = ∫ t t dt 3.极坐标系下区域的面积 设区域 D 为（ x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ ）， D = {(x, y)α ≤ϕ ≤ β,0 ≤ ρ ≤ ρ(ϕ)}， 则其面积为 ( ) ∫ = β α A ρ ϕ dϕ 2 2 1 。 例 7.4 求心形线 r = a(1+ cosϕ) (a > 0)所围的面积. 【解】 ( ) ∫ ∫ = = π π ϕ ϕ ϕ ϕ 0 2 2 0 2 ( ) 2 1 A r d r d 2 2 0 2 4 0 2 4 2 3 8 cos 2 4a cos dϕ a tdt πa ϕ π π = = = ∫ ∫ 。 例 7.5 已知曲线 y = a x （ a > 0）与曲线 y = ln x 在点( , ) 处有公切线。 0 0 x y (1)求常数 a 及切点之坐标值 谭泽光 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 2 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 (2)求上述二曲线与x轴所围图形的面积 【解】(1)由a /x=ln√x,解得a=e,切点为(e,1) 2 2 (2)面积为A=a√xdx-.ln√xdx=2e2-e2 7.12旋转体的体积 1.绕x轴旋转生成的旋转体的体积(小圆台法) 平面区域 D=(x,y)a≤x≤b0≤y≤f(x)绕x轴旋转生成的旋转体的体积为 V:=r/(x)dr 2.绕y轴旋转生成的旋转体的体积(薄壁筒法)平面区域 D={x,y)asx≤b,0≤y≤f( 绕y轴旋转生成的旋转体的体积为V,=2af(x) 例.6求由曲线y=√2-x2,y=√x及y轴所围平面区域绕x轴及绕y轴旋转生成的旋 转体的体积 【解】F1=x2-x)-=x, -2(-x2-k=202-2 例77设常数0<a<1,直线y=ax与抛物线y=x所围成图形的面积为A,他们与宜 线x=1所围成的图形面积为A (1)试确定a的值,使A1+A2达到最小,并求出最小值 (2)求该最小值所对应的图形绕x轴旋转一周所生成旋转体的体积。 【解】(1)4=(ax-x2)=a A=∫(x-axkh 326 A=A+42=1a-1 谭泽光刘坤林编水木艾迪考研培训网 3www.tsinghuatutor.com 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 (2)求上述二曲线与 x 轴所围图形的面积 【解】（1）由 0 2 0 1 2 1 x x a = ， 0 0 a x = ln x ，解得 ，切点为（ ） −1 a = e ,12 e (2) 面积为 A a xdx xdx e e ∫ ∫ = − 2 2 0 1 ln 2 1 2 1 3 2 2 2 = e − e − 2 1 6 1 2 = e − 。 7.1.2 旋转体的体积 1.绕 x 轴旋转生成的旋转体的体积（小圆台法） 平面区域 D = {(x, y) a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ f (x)}绕 x 轴旋转生成的旋转体的体积为 ∫ = b a x V f (x)dx 2 π 2. 绕 y 轴旋转生成的旋转体的体积（薄壁筒法） 平面区域 D = { } (x, y) a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ f (x) 绕 y 轴旋转生成的旋转体的体积为 ∫ = b a y V 2πx f (x)dx 例 7.6 求由曲线 y = 2 − x , y = x 2 及 轴所围平面区域绕 轴及绕 轴旋转生成的旋 转体的体积. y x y 【解】 π [ ] π 6 7 (2 ) 1 0 2 = − − = ∫ V x x dx x ， π ( ) π 15 20 2 22 2 2 1 0 2 − = − − = ∫ V x x dx y 例 7.7 设常数0 < a <1，直线 y = ax 与抛物线 所围成图形的面积为 ，他们与直 线 所围成的图形面积为 。 2 y = x A1 x =1 A2 （1） 试确定 a 的值，使 达到最小，并求出最小值； A1 + A2 （2） 求该最小值所对应的图形绕 x 轴旋转一周所生成旋转体的体积。 【解】（1） A ax x dx = a ∫ = − 0 2 1 ( ) 3 6 1 a ， 3 1 2 2 6 1 3 2 1 ( ) a a A x ax dx a = − = − + ∫ 3 1 2 1 3 1 3 A = A1 + A2 = a − a + , 谭泽光 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 3 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 A=a 0,当 时 A取到最小值A()= (2)用小圆台法 z(=)2-(x2)x-=z(x2)2-(=)x 例7.8求曲线y=lnx,(2≤x≤6)上的一条切线,使该切线与直线x=2,x=6所围成平 面图形面积最小。 【解】求曲线段y=lnx,(2≤x≤6)的一条切线,使该切线与直线x=2,x=6及此曲线段 所围平面图形的面积最小。 【解】设切点为x,则切线方程为y=-(x-x)+lnx,该切线与直线 x=2,x=6所围成平面图形面积为 S(o)=L[lno+-(x-xo)-Inx]dx =4In x +--6In 6+2In 2 由S(x0)=0,得x0=4。又有 S(2)=4ln2+8-6ln6+2ln2, S(x0)=8ln2+4-6ln6+2ln2, S(6)=4ln6+x-6ln6+2ln2, 所以S(x0)最小,故所求切线方程为y=ln4+:(x-4) 例79过点(10)作曲线y=√x-2的切线,该切线与上述曲线及x轴围成一平面图形A。 (1)求A的面积; (2)求A绕x轴旋转一周所成旋转体体积。 谭泽光刘坤林编水木艾迪考研培训网 4www.tsinghuatutor.com 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 2 2 1 A′ = a − ， A′′ = 2a > 0 ，当 2 1 a = 时， A 取到最小值 6 2 3 1 ) 2 1 A( = − 。 （2） 用小圆台法 ∫ ∫ − − − 1 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 ) ] 2 ) ( ) ] [( ) ( 2 [( dx x x dx x x π π π 30 2 +1 = 。 例 7.8 求曲线 y = ln x, (2 ≤ x ≤ 6) 上的一条切线，使该切线与直线 x = 2, x = 6 所围成平 面图形面积最小。 【解】求曲线段 y = ln x, (2 ≤ x ≤ 6) 的一条切线，使该切线与直线 x = 2, x = 6 及此曲线段 所围平面图形的面积最小。 【解】设切点为 x0 ，则切线方程为 0 0 0 ( ) ln 1 x x x x y = − + ，该切线与直线 x = 2, x = 6 所围成平面图形面积为 ∫ = + − − 6 2 0 0 0 0 ( ) ln ] 1 ( ) [ln x x x dx x S x x 6ln 6 2ln 2 16 4ln 0 = 0 + − + x x 由 ( ) 0 ，得 。 又有 S′ x0 = x0 = 4 6ln 6 2 ln 2, 3 8 (6) 4 ln 6 ( ) 8ln 2 4 6ln 6 2 ln 2, (2) 4 ln 2 8 6ln 6 2 ln 2, 0 = + − + = + − + = + − + S S x S 所以 ( ) 最小，故所求切线方程为 0 S x ( 4) 4 1 y = ln 4 + x − . 例 7.9 过点(1,0)作曲线 y = x − 2 的切线，该切线与上述曲线及 x 轴围成一平面图形 A 。 （1）求 A 的面积； （2）求 A 绕 x 轴旋转一周所成旋转体体积。 谭泽光 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 4 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 解】(1)设切点坐标为(n,),则在此点的切线斜率y1-2x-2 在此点的切线方程为 =(x-x)+√x 把点(10)代入上式得x0=3,切线方程为y=(x-1), 则=「(y2+2)-(2y+1)khy (2)V1=x[(x-1)2ax-z,(x-2)ax 丌 6 7.1.3光滑曲线的弧长 直角坐标系中的光滑曲线y=f(x)a≤x≤b的弧长为=-[V+(x 2.参数方程下 x=X(0y=y(,a≤1≤的弧长为=八(++v(jd 极坐标系下光滑曲线p=p()a≤g≤B的弧长为/=Vp()++o()4 例7.10求心形线r=a(1+cosq)(a>0)的弧长 【解】=f0+c)+(-sn)do=d2+2s9dm 2al 2 cos dp=8a costdt =8a 7.14旋转体的侧面积 谭泽光刘坤林编水木艾迪考研培训网 5www.tsinghuatutor.com 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 【解】（1）设切点坐标为(x0 , y0 ) ，则在此点的切线斜率为 2 2 1 0 0 − ′ = = x y x x 在此点的切线方程为 ( ) 2 2 2 1 0 0 0 − + − − = x x x x y 把点(1,0)代入上式得 x0 = 3，切线方程为 ( 1) 2 1 y = x − ， 则 3 1 [( 2) (2 1)] 1 0 2 = + − + = ∫ A y y dy （2）V x dx x dx x 2 3 2 2 3 1 ( 1)] ( 2) 2 1 [ ∫ ∫ = π − −π − π π π 6 1 2 1 3 2 = − = 7.1.3 光滑曲线的弧长 1. 直角坐标系中的光滑曲线 y = f (x), a ≤ x ≤ b 的弧长为 [ ] ∫ = + ′ b a l f x dx 2 1 ( ) 。 2. 参数方程下 x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β 的弧长为 [ ] [ ] ∫ = ′ + + ′ β α l x t y t dt 2 2 ( ) ( ) 。 3. 极坐标系下光滑曲线 ρ = ρ( ) ϕ , α ≤ϕ ≤ β 的弧长为 ( ) [ ] ∫ = + + ′ β α l ρ ϕ ρ ϕ dϕ 2 2 ( ) 。 例 7.10 求心形线 r = a(1+ cosϕ) (a > 0)的弧长. 【解】 ( ) ( ) ∫ = + + − π ϕ ϕ ϕ 2 0 2 2 l a 1 cos sin d ∫− = + π π a 2 2cosϕdϕ a d 8a costdt 8a 2 2 2 cos 2 0 0 = = = ∫ ∫ π π ϕ ϕ 。 7.1.4 旋转体的侧面积 谭泽光 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 5 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805