《微积分、线性代数》考研知识点解析：第6讲 定积分的概念与计算

2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 基础班微积分第6讲定积分的概念与计算 6.1定积分的概念与性质 定积分基本概念、方法与主要知识点 *概念:定积分作为和式的极限,积分中值定理,保序性与估值定理,定积分是一个数。 方法:凑微分法,分部积分,回归法,变量替换,区间变换 积分等式与不等式的证明 6.1.1定义 定义6.1设函数f(x)在有界闭区间[a,b]上有定义,若:(积分定义四部曲) (1)任意分割区间[ab]:取点列x,x,…,xn:记Ax,=x-x-1,花=max|Ax,‖ (2)任取5∈[x1,x1;(3)作和式S=∑∫(5)Ax; (4)若极限lmS=im∑∫(5)Ax=s存在,且极限值与区间[ab]分割的任意性和 5∈[x1,x]取值的任意性无关,则称函数f(x)在区间[ab上可积,该极限值 isSn=lm∑f(5)Ax=s称为函数∫(x)在区间[ab]上的积分,记作 I, (a, b)=f(x)dx=lim S,=S ,b分别称为积分的下、上限,∫(x)称为被积函数,x称为积分中间变量,定积分的值 与积分中间变量的符号无关,即∫(x)d=∫( 6.1.2 函 数的可积性条件 定理61函数在有界闭区间[a,b]可积的必要条件:是函数f(x)在[a,b上有界 定理62函数在有界闭区间[a,b]可积的充分条件满足下列条件之一即可 (1)f(x)在区间[a,b]上单调有界 (2)f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点; (3)f(x)在区间[a,b]上连续 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 电话82378805

2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 基础班微积分第 6 讲 定积分的概念与计算 6．1 定积分的概念与性质 定积分基本概念、方法与主要知识点 * 概念：定积分作为和式的极限，积分中值定理，保序性与估值定理，定积分是一个数。 * 方法：凑微分法，分部积分，回归法，变量替换，区间变换。 * 积分等式与不等式的证明。 6.1.1 定义 定义 6.1 设函数 f (x) 在有界闭区间[a,b]上有定义, 若:（积分定义四部曲） (1) 任意分割区间[a,b]: 取点列 x0 , x1 ,L, xn : 记∆ i = i − i−1 x x x , i i λ = max ∆x ; (2) 任取 [ , ] i i 1 i x x ξ ∈ − ； （3）作和式 ∑ ； = = ∆ n i n i i S f x 1 (ξ ) (4) 若极限 S f x s 存在, 且极限值与区间 分割的任意性和 n i n = ∑ i ∆ i = = → → 1 0 0 lim lim (ξ ) λ λ [a,b] [ i i i x , x ∈ −1 ξ ] 取值的任意性无关, 则称函数 在区间 上可积, 该极限值 称 为 函 数 在 区 间 上的积 分 , 记作 。 f (x) [a,b] S f x s n i n = ∑ i ∆ i = = → → 1 0 0 lim lim (ξ ) λ λ f (x) [a,b] I a b f x dx S s n b a f = = = ∫ →0 ( , ) ( ) lim λ a,b 分别称为积分的下、上限, 称为被积函数, 称为积分中间变量, 定积分的值 与积分中间变量的符号无关，即 。 f (x) x ∫ ∫ = b a b a f (x)dx f (t)dt 6.1.2 函 数的可积性条件 定理 6.1 函数在有界闭区间[a,b]可积的必要条件:是函数 f (x) 在[a,b]上有界。 定理 6.2 函数在有界闭区间[a,b]可积的充分条件(满足下列条件之一即可) (1) f (x) 在区间[a,b]上单调有界; (2) f (x) 在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点; (3) f (x) 在区间[a,b]上连续. 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 1 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805

2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 定积分定义在考研中的应用利用积分和式求特定极限(见后述例题) 6.1.3定积分的性质及常用结论 (1)「f(x)d f(xdx (2)对积分区间的可加性:vc∈R,「f(x)d=f(x)dx+f(x)对被积 函数满足线性性 4(x+Bg(]=4∫(x)+∫(x) (3)若f(x)在ab]上可积,则f(x)在ab]上也可积且 f(x)x≤|f(x)dh (4)保序性(保号性):若可积函数f(x)20,vx∈b,则∫f(xk20 若可积函数f(x,g(x):满足f(x)≥g(,则∫f(x)d2Jx) 特别,若非负连续函数f(x在b上不恒为零,则∫f(x)>0 推论:估值定理:若可积函数f(x)在{a,b]上满足m≤f(x)≤M,则 m(b-a)s∫fxk≤M(b-a 进一步,若函数g(x)在[a,b上非负可积,则(称为比较性质) m g(x)dxs f(x)g(x)dsm g(x)dx (4)积分中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上取定号且可积 则35∈(a.b)使∫/(x(x)k=/)∫gx)d 特别,g(x)=1时,35∈[b],使∫f(x)x=()(b-a),或 f(x)dx b f(5)=Ja1(x)(平均值 事实上还可进一步证明彐50∈(a,b),使上述结论成立。 (6)若f()在-a上是可积的奇函数,则[f(x)=0;若f(x)在a叫上是 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 电话82378805

2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 定积分定义在考研中的应用 利用积分和式求特定极限（见后述例题） 6.1.3 定积分的性质及常用结论 (1) ∫ ∫ = − a b b a f (x)dx f (x)dx (2) 对积分区间的可加性: 对被积 函数满足线性性: ∫ ∫ ∫ ∀ ∈ = + b c c a b a c R, f (x)dx f (x)dx f (x)dx [ ] ∫ ∫ ∫ + = + b a b a b a Af (x) Bg(x) dx A f (x)dx B g(x)dx (3) 若 f (x) 在[a,b]上可积, 则 f (x) 在[a,b]上也可积, 且 ∫ ∫ ≤ b a b a f (x)dx f (x) dx （4）保序性（保号性）: 若可积函数 f (x) ≥ 0, ∀x ∈[a,b] , 则 ( ) ≥ 0 。 ∫ b a f x dx 若可积函数 f (x), g(x)满足 f (x) ≥ g(x) , 则 。 ∫ ∫ ≥ b a b a f (x)dx g(x)dx 特别，若非负连续函数 f (x) 在[a,b]上不恒为零， 则 ( ) > 0。 ∫ b a f x dx 推论： 估 值定理 : 若可积 函 数 f (x) 在 [ a , b ] 上 满 足 m ≤ f (x) ≤ M , 则 m(b a) f (x)dx M (b a)。 b a − ≤ ≤ − ∫ 进一步, 若函数 g(x) 在[a,b]上非负可积, 则（称为比较性质） ∫ ∫ ∫ ≤ ≤ b a b a b a m g(x)dx f (x)g(x)dx M g(x)dx (4) 积分中值定理: 若函数 在 上连续, 在 上取定号且可积, 则 f (x) [a,b] g(x) [a,b] ∃ξ ∈ (a,b), 使 ∫ ∫ = b a b a f (x)g(x)dx f (ξ ) g(x)dx 特别, g(x) ≡ 1时, ∃ξ ∈[a,b], 使 f (x)dx f ( )(b a) , 或 b a = − ∫ ξ __________ [ , ] ( ) ( ) ( ) f f x b a f x dx a b b a = = − ∫ ξ （平均值） 事实上还可进一步证明 ( , ), ∃ξ 0 ∈ a b 使上述结论成立。 （6）若 f (x) 在[−a, a] 上是可积的奇函数, 则 ∫ ( ) = 0 ;若 在 上是 − a a f x dx f (x) [−a, a] 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 2 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805

2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 可积的偶函数,则」f(x)dx=2f(x)h (7)若∫(x)是可积的周期函数,且周期为T,则对任意实数a必有 ∫(x)kx=|。f(x)dx。 (8)若连续函数f(x)满足f(x)x=0,则存在x0∈(ab)使得f(x)=0 (证明方法1:由中值定理;证明方法2:由连续函数的保号性) (9)若非负连续函数f(x)满足(x)d=0,则vx∈[a,b],f(x)=0 (证明方法:由连续函数的保号性与积分的保号性,反证) 例6.1设1= 2sin(sinxydx,12=5 cos(sin x ydr.,则(A) (A)l1<1<l2(B)l1>1>12° (c)l1= (D)l1>l2>1 【解】当x∈(0 sinx<x,且sinx为增函数,于是sin(sinx) 1,=2sin(sin x Xx< 2sindx=1 而cosx为减函数,则有cos(sinx)>sinx,于是 1 2=cos(sin x )dx>2 cos xx=1>II 例6.2估计积分「e-的范围 【解】ma(x2-2x)=0.,m(x2-2x)=-1,因此 2e=hedrsbe-2dxsledx=2 例68设M=1(+小+x),N= Ldx, p= 则(A) (AP<M<N (B)M<N<P。(0)M<P<N。()N<P<M。 【解】由于M为奇函数在对称区间的积分,故为0; 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 电话82378805

2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 可积的偶函数, 则 。 ∫ ∫ = − a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( ) （7）若 是可积的 周期函数, 且周期 为 T ，则对 任意实数 必 有 。 f (x) a ∫ ∫ = a+T T a f x dx f x dx 0 ( ) ( ) （8）若连续函数 f (x) 满足 ∫ ( ) = 0 ，则存在 b a f x dx ( , ) x0 ∈ a b 使得 ( ) 0 。 f x0 = （证明方法 1：由中值定理；证明方法 2：由连续函数的保号性） （9）若非负连续函数 f (x) 满足 ∫ ( ) = 0 ，则 b a f x dx ∀x ∈[a,b], f (x) ≡ 0。 （证明方法：由连续函数的保号性与积分的保号性，反证） 例 6．1 设 I x dx ∫ = 2 0 1 sin(sin ) π ， I x dx ∫ = 2 0 2 cos(sin ) π ，则 ( A ). （A） 。 （B） 。 1 2 I <1< I 1 2 I >1 > I （C） 。 （D） . 1 2 I = I 1 I1 > I 2 > 【解】当 ) 2 (0, π x ∈ ，sin x < x ，且sin x 为增函数，于是sin(sin x) < sin x, I x dx ∫ = 2 0 1 sin(sin ) π sin 1 2 0 < = ∫ dx π ， 而cos x 为减函数，则有cos(sin x) > sin x ，于是 I x dx ∫ = 2 0 2 cos(sin ) π 1 2 0 > cos xdx =1 > I ∫ π 。 例 6．2 估计积分 的范围. ∫ − 2 0 2 2 e dx x x 【解】 [ ]( ) [ ] max 2 0, min ( 2 ) 1 2 0,2 2 0,2 − = − = − ∈ ∈ x x x x x x ，因此 2 2 2 0 0 2 0 2 2 0 1 1 2 = ≤ ≤ = ∫ ∫ ∫ − − − e e dx e dx e dx x x 例 6．3 设 M x ln (x 1 x )dx 2 2 1 1 = + + ∫− ， dx x x x N ∫− + + = 1 1 2 3 1 ， ∫− + − = 1 1 2 2 3 (1 ) 1 dx x x P ， 则(A) 。 (A) P < M < N 。 (B) M < N < P 。(C) M < P < N 。 (D) N < P < M 。 【解】由于 M 为奇函数在对称区间的积分，故为 0； 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 3 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805

2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 √+x21=2(2-)>0,P=-2 dx<0 (1+x2) 所以P<M<N 6.2牛顿一莱布尼兹公式与定积分的计算 6.2.1牛顿一莱布尼兹公式及其应用 定理6.3牛顿一莱布尼兹公式 若∫(x)是[a,b]上的连续函数,F(x)为f(x)在[a,b]上的一个原函数,则存在常 数C,使F(x)=0d+C, VeLa, b或 ∫f(xk=F(b)-C=F(b)-F()=F(x)上述公式称为牛顿一莱布尼兹公式特别 还有 I/(dr=f(b)-f(a 牛顿一莱布尼兹公式使得定积分的计算转化为求不定积分问题,或求原函数问题。 利用牛顿一莱布尼兹公式,我们可以通过不定积分求的定积分的值。一般可直接用 凑微分法、换元法和分部积分法计算定积分。 例6.4求|x-1|dx。 【解】1x-1dk=(1-x+∫(x- 注:对于分段定义的函数,定积分计算应特别注意分段积分 例6.5求[v- sin xdx 【解】Ⅵ- sin xdx= sIn cOS [cos=-sinldx+l sin = -cos-dx=42-4 x 例6.6设∫(x)= 求|,∫(x)dt I x>0 【解】解法一f(x)在[-1区间内有第一类间断点,因此在[-1,1区间内不存在原 函数,不能直接用牛顿一莱布尼兹公式.利用对区间的可加性有 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 电话82378805

2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 2 1 2( 2 1) 0 1 2 1 0 1 0 2 2 2 = + = − > + = ∫ x x dx N ， 0 (1 ) 1 2 2 2 1 0 < + = − ∫ dx x P 所以 P < M < N 。 6.2 牛顿—莱布尼兹公式与定积分的计算 6.2．1 牛顿—莱布尼兹公式及其应用 定理 6.3 牛顿—莱布尼兹公式 若 是 上的连续函数, 为 在 上的一个原函数, 则存在常 数C , 使 , f (x) [a,b] F(x) f (x) [a,b] F x f t dt C x a = + ∫ ( ) ( ) ∀x ∈[a,b]或 b a b a f (x)dx F(b) C F(b) F(a) F(x) ∆ = − = − = ∫ 上述公式称为牛顿—莱布尼兹公式.特别 还有 f (x)dx f (b) f (a) 。 b a ′ = − ∫ 牛顿—莱布尼兹公式使得定积分的计算转化为求不定积分问题，或求原函数问题。. 利用牛顿—莱布尼兹公式，我们可以通过不定积分求的定积分的值。一般可直接用 凑微分法、换元法和分部积分法计算定积分。 例 6．4 求 ∫ − 。 2 0 | x 1| dx 【解】 ∫ ∫ ∫ − = − + − 2 1 1 0 2 0 | x 1| dx (1 x)dx (x 1)dx 1 2 2 2 1 2 1 0 2 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − x x x x 注：对于分段定义的函数，定积分计算应特别注意分段积分。 例 6．5 求 1 sin . ∫0 − π xdx 【解】 ∫ ∫ − = − π π 0 0 2 cos 2 1 sin . sin dx x x xdx ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − π π π 2 2 0 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos dx x x dx x x = 4 2 − 4. 例 6．6 设 , 求 。 ⎩ ⎨ ⎧ + > − ≤ = 1 0 1 0 ( ) x x x x f x ∫− 1 1 f (x)dx 【解】 解法一 f (x) 在[−1,1]区间内有第一类间断点, 因此在[−1,1]区间内不存在原 函数, 不能直接用牛顿—莱布尼兹公式. 利用对区间的可加性有 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 4 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805

2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 f(x)dx=lf(x)dx+ f(x)dx 在[-1,0],[0,1内分别可以用牛顿一莱布尼兹公式 f(x)dx f(x)dx 2 故 f(x)dx=0。 解法二f(x)是[-1,的奇函数 f(rdx=0 例 (1+x)cos x 6.7 求」 【解】「2 (+x)cosx coS x SInx -dx=-ln 1+cos- x 6.22变量替换法 第一换元法的基本思路(凑微分方法) f(xdx=f(b)-f(a f(o(x)o'(x)dx=f(o(x) 第二换元法的基本思路 ∫(x)k=Jo),()=F(o)l其中要求(x)与o(0连续,x=o( 有反函数t=-(x),且a=o(a,b=0(B),「f(x)hx=F(x)+C 换元法的重要应用之一是区间变换:以改变积分区间为特定目的的变换 l,(a,b)=」f(x)d f(x)dx→f(x(m)x(d 令 ∫(x)dx→f(x(m)x(t)dt 还有反号变换:t=-x,倒数变换:t= 广泛用于积分的合并与拆分。 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 电话82378805

2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 ∫− ∫− ∫ = + 1 0 0 1 1 1 f (x)dx f (x)dx f (x)dx 在[−1,0],[0,1]内分别可以用牛顿—莱布尼兹公式, 2 3 2 ( ) 0 1 2 0 1 = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − ∫− x x f x dx ， 2 3 2 ( ) 1 0 2 1 0 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + ∫ x x f x dx 故 =0。 ∫− 1 1 f (x)dx 解法二 f (x) 是[−1,1]的奇函数, =0. ∫− 1 1 f (x)dx 例 6．7 求 dx x x x ∫− + + 2 2 2 1 cos (1 ) cos π π 。 【解】 dx x x dx x x x ∫ ∫ + = + + − 2 0 2 2 2 2 1 cos cos 2 1 cos (1 ) cos π π π 2 1 2 1 ln 2 1 2 sin (sin ) 2 2 0 2 − + = − = ∫ dx x d x π 6.2.2 变量替换法 第一换元法的基本思路（凑微分方法）: f (x)dx f (b) f (a) b a ′ = − ∫ b a b a f ′(ϕ(x))⋅ϕ′(x)dx = f (ϕ(x)) ∫ 第二换元法的基本思路: β α β α f (x)dx f (ϕ(t)) ϕ (t)dt F(ϕ(t)) b a = ⋅ ′ = ∫ ∫ 其中 要求 f (x) 与ϕ′(t) 连续， x = ϕ(t) 有反函数 ( ) ,且 1 t x − = ϕ a = ϕ(α),b = ϕ(β ) ， f x dx = F x +C ∫ ( ) ( ) 。 换元法的重要应用之一是区间变换：以改变积分区间为特定目的的变换： ∫ = b a I f (a,b) f (x)dx f x dx f x t x t dt b a ( ) ( ( )) ( ) 1 0 ⇒ ′ ∫ ∫ ： 令 b a x a t − − = ， f x dx f x t x t dt d c b a ( ) ⇒ ( ( )) ′( ) ∫ ∫ ： 令 d c c b a x a t − + − − = ( ) ， 还有反号变换：t = −x ，倒数变换： x t 1 = 。 广泛用于积分的合并与拆分。 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 5 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805