2008年全国研究生统一考试代数部分试题 解:由A=0,A有特征值为0,又A的特 征值互不相同,另外两个特征值都非零,且 A和对角矩阵相似,对角矩阵的元素为A的 特征值,A的秩等于对角矩阵的秩,故A的 秩为2 (I)解答题 数学一(20)(本题满分11分) 设A=aa+BB,其中a为a的转置, B为β的转置 证r(A)≤2; 若a,B线性相关,则r(A)<2 证法1:1.r(aa1)≤r(a)≤1, 同理,r(BB)≤1
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 6 解：由 A = 0， 有特征值为 0，又 的特 征值互不相同，另外两个特征值都非零，且 和对角矩阵相似，对角矩阵的元素为 的 特征值， 的秩等于对角矩阵的秩，故 的 秩为 2． A A A A A A （III）解答题 数学一（20）（本题满分 11 分） 设 T A T = αα + ββ ，其中 T α 为α 的转置， T β 为β 的转置. I．证r A( ) ≤ 2； II．若α,β 线性相关，则r A( ) < 2． 证法１：I． ( ) ( ) 1 T r αα ≤ r α ≤ ， 同理， ( ) 1 T r ββ ≤
2008年全国研究生统一考试代数部分试题 r(a=r(aa+BB) ≤r(aa1)+r(BB) 1+1=2 1.若a,B线性相关,不妨设β=ka, (a=r(aa+BB) r(aa+ ka(ka) =(1+k2)a2) =r(co)≤1<2 证法2: A=(a+BB)=(a,,0)Bx, 令B=(a,0),则A=BB A=BB =B=0 所以,r(4)≤2. 证法3
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 7 ( ) ( ) ( ) ( 1 1 2 T T T T r A r r r ) αα ββ αα β = + ≤ + ≤ + = β ． II．若α,β 线性相关，不妨设β = kα ， ( ) ( ) 2 T T ( ) ( ) ( ( (1 k ) 1 2 T T T T r A r r k k r r αα ββ αα α α αα αα = + = + = + = ≤ < )) , ． 证法２： I． ( ) T T T T ( ) , ,0 0 A α αα ββ α β β ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 令B = ( ) α, , β 0 ，则 T A B = B ， 2 0. T A B = = B B = 所以，r A( ) ≤ 2. 证法 3：
2008年全国研究生统一考试代数部分试题 T A=(aa+B8)=(a, B) B r(A)≤r(a,月)≤2. 若a,B线性相关,不妨设B=k A=(aa+BB)=(a, ka (e7/ r(A)≤r(a,ka)≤1<2 证法4 a A=(aa+BB)=(a, B B 由于线性方程组x=0的方程个数2 小于未知数的个数3, 所以方程组x=0有非零解, B 从而线性方程组4x=(an)2(1x=0有 B 非零解
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 8 I． ( ) T T T T A ( ) , α αα ββ α β β ⎛ ⎞ = + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , r A( ) ≤ ≤ r(α,β ) 2． II．若α,β 线性相关，不妨设β = kα ， ( ) T T T T A k ( ) , k α αα ββ α α α ⎛ ⎞ = + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , r A( ) ≤ ≤ r(α,kα ) 1 < 2 , ． 证法 4： I． ( ) T T T T A ( ) , α αα ββ α β β ⎛ ⎞ = + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 由于线性方程组 T T x 0 α β ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 的方程个数 2 小于未知数的个数 3， 所以方程组 T T x 0 α β ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 有非零解， 从而线性方程组 ( ) T T Ax , x 0 α α β β ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 有 非零解
2008年全国研究生统一考试代数部分试题 因此,系数矩阵A不满秩, 即r(A)≤2 证法5:.设 (a1,a2,a3),B=(b1,b2,b3) 贝 A=(aa+BB) af+bi a,a2+b,b2 a,43+b,b +bb. a+b aatb. aatbb. aabb atb (a,a+b,B,a,a+b,B, aaa+b3B) IA=a, a, a2 a, a,a+a,a, a2a, b3B +a, a, 2B, a3 a +a,a, b2B, b3B +月,a2anQc+bBa2a,2 +1月,bB,a3a+bBb月,b,B 0 所以,r(A)≤2 证法6:1.若α,B中有一个为0,不妨设 B=0,则
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 9 因此，系数矩阵A不满秩， 即r A( ) ≤ 2． 证法 5：I．设 ( , , ) , ( , , ) 1 2 3 1 2 3 T T α = = a a a β b b b ， 则 T T ( ) ( , , ) 2 2 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 2 2 2 1 2 1 2 2 2 3 2 3 2 2 3 1 3 1 3 2 3 2 3 3 1 1 2 2 3 3 A a b a a b b a a b b a a b b a b a a b b a a b b a a b b a b a b a b a b αα ββ α β α β α β = + ⎛ ⎞ + + + ⎜ ⎟ = + + + + + + ⎝ ⎠ = + + + | | , , , , , , , , , , , , , , , , . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 A a a a a a b a b a a b b b a a b a b b b a b b b α α α α α β α β α α β β β α α β α β β β α βββ = + + + + + + + = 所以，r A( ) ≤ 2． 证法 6：I．若α,β 中有一个为 0，不妨设 β = 0，则
008年全国研究生统一考试代数部分试题 r(A=r(aa)sr(a)<1<2 设a≠0,月≠0,必存在y≠0,使得 ay=0,By=0, 于是, Ay=(aa+6B7)y=0, 即齐次线性方程组Ax=0有非零解,所以 r(4)≤2 1.若a,B线性相关,不妨设β=ka, 显然存在线性无关的两个向量y1,y2,有 也有By1=0,By2=0, 于是Ay1=(aa+BB)y1=0, y2=(aa+BB)y2=0, 即Ax=0有两个线性无关的解,所以 r(4)<2. 证法7:1.若α,B中有一个为0,不妨设 B=0,则 r(A)=r(aa)≤r(a)≤1<2
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 10 ( ) ( ) ( ) 1 T r A = ≤ r αα αr ≤ < 2 0 ， 设 α ≠ 0, β ≠ ，必存在 γ ≠ 0 ，使得 0 0 , T T α γ β = = γ ， 于是， ( ) 0 T T Aγ = + αα ββ γ = ， 即齐次线性方程组 Ax = 0有非零解，所以 r A( ) ≤ 2． II．若α,β 线性相关，不妨设β = kα ， 显然存在线性无关的两个向量 , 1 2 γ γ ，有 , 1 2 0 0 T T α γ α = = γ ， 也有 , 1 2 0 0 T T β γ β = = γ ， 于是 ( ) 1 1 0 T T Aγ = + αα ββ γ = ， ( ) 2 2 0 T T Aγ = + αα ββ γ = ， 即 Ax = 0 有两个线性无关的解，所以 r A( ) < 2． 证法 7：I．若α,β 中有一个为 0，不妨设 β = 0，则 ( ) ( ) ( ) 1 T r A = ≤ r αα αr ≤ < 2