陕西师范大学：《复变函数论 Theory of Complex Variable Functions》课程PPT教学课件（复分析 Complex Analysis）3.1 复变函数积分的概念

陕西师乾大学乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMALUNIVER关于定义的说明：(1)如果C是闭曲线,那么沿此闭曲线的积分记为 f f(z)dz.C(2)如果C是x轴上的区间a≤x≤b,而f(z)=ux）这个积分定义就是一元实变函数定积分的定义

关于定义的说明: ( )d . (1) ,  C f z z C 记为 如果 是闭曲线 那么沿此闭曲线的积分 . ( ), (2) , ( ) 定积分的定义 这个积分定义就是一元 实变函数 如果 是 轴上的区间 而 u x C x a x b f z   

陕品师乾大學陈数学与信息科学学院SHAANXINORMA积分存在的条件及其计算法1.存在的条件如果f(z)是连续函数而 C是光滑曲线时，积分 f(z)dz一定存在.证设光滑曲线C由参数方程给出z=z(t)=x(t)+iy(t), α≤t≤β正方向为参数增加的方向参数α及β对应于起点A及终点B

二、积分存在的条件及其计算法 1. 存在的条件 ( )d . ( ) , 积分 一定存在 如果 是连续函数而 是光滑曲线时 C f z z f z C 证 z  z(t)  x(t)  i y(t),   t   设光滑曲线 C由参数方程给出 正方向为参数增加的方向, 参数 及  对应于起点 A 及终点 B

陕西师大學味数学与信息科学学院HAANX并且 z(t)± 0, α<t<β,如果 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在 D内处处连续,那么u(x,J)和v(x,y)在D内均为连续函数,设Sh=+ink因为 Az = Zk - Zk-1 = X +iyk-(Xk-1 +iyk-1)=(xk-Xk-1)+i(k-k-1)= Axk +iAyk

并且 z(t)  0,   t   , 如果 f (z)  u(x, y)  i v(x, y)在 D内处处连续, 那么u(x, y)和v(x, y)在 D内均为连续函数, , k k k 设     i ( )  k  k  k1  k  k  k1  k1 因为 z z z x iy x iy ( ) ( )  k  k1  k  k1 x x i y y , k k  x  iy

陕西师大学乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMA2G)A所以k=1=Z[u(5k,nk) + iv(5k,nk)(Ax + iAyk)k=1- [u(5k,nk)Axk -v(5k,nk)Ayklk=1iE[v(Sk,nk)Ax+(Sk,nu)Aya]+ik=1由于u，v都是连续函数，根据线积分的存在定理

k n k k  f z 1 所以 ( )       n k k k k k k k u i v x i y 1 [ ( , ) ( , )]( )            n k k k k k k k n k k k k k k k i v x u y u x v y 1 1 [ ( , ) ( , ) ] [ ( , ) ( , ) ]         由于 u, v 都是连续函数,根据线积分的存在定理

陕西师乾大学陈数学与信息科学学院SHAANXLNORMA1N当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时不论对C的分法任何,点(Sk,n)的取法如何下式两端极限存在nEf(5k)AzkE[u(Ek,n)Ax-v(Eh,nk)Ayk]=k=-1k=E[v(Ek,nk)Ar+u(5k,n)Aylk=[ f(z)dz =,udx - vdy+ if, vdx + udy

当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, , , ( , ) , 下式两端极限存在 不论对 C 的分法任何 点  k k 的取法如何                n k k k k k k k n k k k k k k k n k k k i v x u y f z u x v y 1 1 1 [ ( , ) ( , ) ] ( ) [ ( , ) ( , ) ]          C f (z)dz   C udx vdy   C   i vdx udy