vE>0要|(x(x)<a 只要|f(x)a(x)=|f(x)|a(x)≤Ma(x)k<E 或|a(x) (0<x-x0<a M a(x)<→382 彐δ=min{8,O2 0<x-x<6→f(x)a(x)< October 2004
October, 2004 0 要 f x x ( ) ( ) 只要 f x x ( ) ( ) 或 ( ) x M ( ) x M 2 min{ , } 1 2 = 0 0 − x x f x x ( ) ( ) = f x x ( ) ( ) M x ( ) 0 1 (0 ) − x x
例计算极限 lim x→>0 解1mx=0x是无穷小 x->0 又sin-≤1函数sn(1)有界 X 有界函数与无穷小 所以 lim xsin-=0的乘积是无穷小 0 注意:极限 lim sin-不存在 X October 2004
October, 2004 例 计算极限 0 1 lim sin x x → x 解 0 lim x x → = 0 x 是无穷小 1 sin x 又 1 函数 sin(1/x) 有界 所以 0 1 lim sin x x → x = 0 有界函数与无穷小 的乘积是无穷小 注意：极限 0 1 limsin x→ x 不存在
lim sin-不存在 limxsin -=0 x→>0 X 08 0.6 608 .4 A:=p1ot(x*sin(1/x),x=-1..1,y= 0.5..1. 1, thickness=2, style=line October 2004
October, 2004 0 1 lim 0 sin x x → x = with(plots): A:=plot(x*sin(1/x),x=-1..1,y=- 0.5..1.1,thickness=2,style=line): B:=plot({x,-x},x=-1..1,y=-0.5..1.1,color=blue,thickness=2): 0 1 limsin x→ x 不存在
定理2有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。 推论1常数与无穷小的乘积也是无穷小。 推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小。 October 2004
October, 2004 定理 2 有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。 推论 1 常数与无穷小的乘积也是无穷小。 推论 2 有限个无穷小的乘积也是无穷小
问:无穷大是否有类似的性质? 以下命题成立? (1)两个无穷大的和也是无穷大 (2)两个无穷大的积也是无穷大 答: (1)是错的;反例? (2)成立,证明? October 2004
October, 2004 问: 无穷大是否有类似的性质？ (1) 两个无穷大的和也是无穷大 以下命题成立？ (2) 两个无穷大的积也是无穷大 答： (1) 是错的； 反例？ (2) 成立，证明？