问题的提出 B L M 实例:曲线形构件的质量 (5,)/M 匀质之质量M=ps M M i-1 分割M 0 15 m1→△s M,∴……,M 工工工 取(5,m;)∈△s;,△M1≈p(51,m)△, 求和M≈∑p(5,m)A 近似值 精确值 取极限M=lim∑p(5,n),△s 0 → 上页
一、问题的提出 实例:曲线形构件的质量 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) i i L 匀质之质量 M = s. 分割 , , , , 1 2 n 1 i M M M → s − ( , ) , i i i 取 s ( , ) . i i i i M s 求和 ( , ) . 1 = n i i i i M s 取极限 lim ( , ) . 1 0= → = n i i i i M s 近似值 精确值
二、对弧长的曲线积分的概念 1定义 设L为xoy面内一条光滑曲线弧函数f(x,y) 在L上有界用L上的点M1,M2,…,M把L分成n 个小段设第个小段的长度为A,又(2,η为第 i个小段上任意取定的一点,y B 王作乘积(,m)2, L M -1 niM 王并作和∑(,n)△, i=1 0 上页
二、对弧长的曲线积分的概念 ( , ) , ( , ) , , . , ( , ) . , , , , ( , ) 1 1 2 1 = − n i i i i i i i i i i n f s f s i i s L L M M M L n L xoy f x y 并作和 作乘积 个小段上任意取定的一点 个小段设 第 个小段的长度为 又 为 第 在 上有界用 上的点 把 分 成 设 为 面内一条光滑曲线弧函 数 1.定义 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) i i L
如果当各小弧段的长度的最大值λ→0时, 这和的极限存在则称此极限为函数f(x,y) 王在曲线弧上对弧长的曲线积分或第一类曲 线积分记作f(,y)dk,即 被积函数 ∫(xDk=m∑/,n),△s(积分和式 i=1 积分弧段 曲线形构件的质量M=J,(x,y)ks 上页
( , ) lim ( , ) . , ( , ) , , ( , ) 0 , 1 0 = → = → n i i i i L L f x y ds f s f x y ds L f x y 线积分 记 作 即 在曲线弧 上对弧长的曲线积分或第一类曲 这和的极限存在 则称此极限为函数 如果当各小弧段的长度的最大值 时 被积函数 积分弧段 积分和式 曲线形构件的质量 ( , ) . = L M x y ds
2存在条件: 当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分(x,)存在 3:推广 函数(x,2)在空间曲线弧上对弧长的 曲线积分为 f(x,2)b=m/(5,)△x 上页
2.存在条件： ( , ) . ( , ) , 对弧长的曲线积分 存 在 当 在光滑曲线弧 上连续时 L f x y ds f x y L 3.推广 曲线积分为 函 数 f (x, y,z)在空间曲线弧上对弧长的 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i n i i i i f x y z ds = f s = →
注意 1.若L(或r)是分段光滑的,(L=L1+L2) S-L /(x, y)=S /(x, y)ds+. /( x,y)ds. 2.函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的 牛曲线积分记为(x,) 上页
注意： 1. ( ) , ( ) 若 L 或 是分段光滑的 L = L1 + L2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 1 2 = + L +L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( , ) . 2. ( , ) L f x y ds f x y L 曲线积分记为 函 数 在闭曲线 上对弧长的