14无穷小与无穷大 Infinitesimal and Infinity
October, 2004 Infinitesimal and Infinity 1.4 无穷小与无穷大
无穷小( Infinitesimal) lim f(r)=A If(x)-A<c(VE>0) →limf(x)-4=0 <lmnf(x)-4]=0 E lima(x=0 a(x)=f(x)-A 即,每一个有极限的函数f(x)都与一个趋于0的 函数f(x)-A联系着。 因此,以0为极限的函数在极限理论和极限的计 算中扮演着特殊而重要的角色。 October 2004
October, 2004 一、无穷小 (Infinitesimal) lim ( ) f x A = f x A ( ) ( 0) − lim ( ) 0 f x A− = lim[ ] 0 f x A ( ) − = 即，每一个有极限的函数 f(x) 都与一个趋于 0 的 函数 f(x) - A 联系着。 因此，以 0 为极限的函数在极限理论和极限的计 算中扮演着特殊而重要的角色。 lim 0 (x) = ( ) ( ) x f x A = −
定义1 无穷小就是在自变量的某个变化过程中,以0 为极限的函数(或变量)。 若lmf(x)=0 则f(x)是x→>x0时的无穷小 若limf(x)=0 x→ 则f(x)是x→∞时的无穷小 无穷小一般用希腊字母a,,γ等表示 October 2004
October, 2004 定义 1 无穷小就是在自变量的某个变化过程中，以 0 为极限的函数（或变量）。 0 lim ( ) 0 x x f x → 若 = 0 则 f x x x ( )是 → 时的无穷小 lim ( ) 0 x f x → 若 = 则 f x x ( )是 → 时的无穷小 无穷小一般用希腊字母 α, β, γ 等表示
匚无穷小的δ定义 a(x)是x→x0时的无穷小 e lima(x=0 x->x0 今VE>0,彐6>0 x:0<x-x<0→a(x)<E October 2004
October, 2004 0 lim ( ) 0 x x x → = 0 ( ) x x x 是 → 时的无穷小 0 0, 0 x x x x : 0 ( ) − 无穷小的 ε-δ 定义
无穷小的例子 下列函数何时为无穷小? (x-1)(x→>1)‘im(x-1)2=0 x-1 x→∝ X X→ 3 e(x>-∞) lime=0 x→一
October, 2004 无穷小的例子 2 ( 1) x − ( 1) x → 下列函数何时为无穷小？ 2 1 lim( 1) 0 x x → − = 1 x ( ) x → 1 lim 0 x→ x = x e ( ) x → − lim 0 x x e →− = x y e =