110闭区间上连续函数的性质 Continuous functions on a closed Interval 孙
October, 2004 1.10 闭区间上连续函数的性质 Continuous Functions on a Closed Interval
函数f(x)在闭区间{a,b上连续是指f(x)在该 区间内的每一个点处都连续,并且在两个端 点单侧连续。 闭区间{a,b上的连续函数y=fx)的图形是 条从点A(a,八(a)到点B(b,八(b)的连续不 间断的曲线。 B f(a f(b) b October 2004
October, 2004 函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续是指 f(x) 在该 区间内的每一个点处都连续，并且在两个端 点单侧连续。 a f x( ) b B A f a( ) f b( ) 闭区间[a, b] 上的连续函数y = f(x) 的图形是 一条从点 A(a, f(a))到点 B(b, f(b)) 的连续不 间断的曲线
最值性和有界性 定理1(最值定理) 在闭区间|a,b上连续函数f(x)定能在该区 间上取得最大的函数值和最小的函数值。 f(x) f(5)=M B f()=m b October 2004
October, 2004 一、最值性和有界性 定理 1（最值定理） 在闭区间 [a, b] 上连续函数 f(x)一定能在该区 间上取得最大的函数值和最小的函数值。 f M ( ) = f m ( ) = a f x( ) b B A M m
证明? 这个看似简单的定理的证明其实很难, 涉及较多的实数和分析理论。 证明从略 有兴趣的同学可以参考《数学分析》 中的证明。 A B M October 2004
October, 2004 a f x( ) b A B M m 证明 ? 这个看似简单的定理的证明其实很难， 涉及较多的实数和分析理论。 证明从略 有兴趣的同学可以参考《数学分析》 中的证明
定理1“(有界性定理) 在闭区间{a,b上连续函数f(x)在该区间上是 有界的。 证明:事实上由 f(x) m≤f(x)≤M M B (a≤x≤b 知函数fx)在闭区 间[a,b上有界。 b October 2004
October, 2004 定理 1‘（有界性定理） 在闭区间 [a, b] 上连续函数 f(x) 在该区间上是 有界的。 证明：事实上由 m f x M ( ) ( ) a x b 知函数 f(x)在闭区 间 [a, b] 上有界。 a f x( ) b B A M m