15极限的运算法则 Limit laws
October, 2004 1.5 极限的运算法则 Limit Laws
无穷小的性质 定理1有限个无穷小的和也是无穷小。 lima=0 and limB=0= lim(a+B)=0 证设lima(x)=0limB(x)=0 x→> x->x0 欲证lim[a(x)+B(x)]=0 x-X October 2004
October, 2004 一、无穷小的性质 定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小。 lim 0 and lim 0 = = lim( ) 0 + = 证 设 0 lim ( ) 0 x x x → = 0 lim ( ) 0 x x x → = 欲证 0 lim[ ( ) ( )] 0 x x x x → + =
VE>0要a(x)+B(x)< 只要a(x)+B(x)≤a(x)+|B(x)<E 或 C(x)< 6(x)< a(x)<→36(x)<→彐6 彐δ=min{8,O2 0<x-x0<6→(x)+(x)<E October 2004
October, 2004 0 要 ( ) ( ) x x + 只要 ( ) ( ) x x + + ( ) ( ) x x 或 ( ) 2 x ( ) 2 x ( ) 2 x 1 ( ) 2 x 1 min{ , } 1 2 = 0 0 − x x ( ) ( ) x x +
问题:无限多个无穷小也是无穷小吗? 答:一般不是 反例? lim-=0是无穷小 n→00 但++…+=1冷0不是无穷小 October 2004
October, 2004 问题：无限多个无穷小也是无穷小吗？ 答：一般不是 反例？ 1 lim 0 n→ n = 1 1 1 ... n n n + + + n个 = 1→0 1 n 是无穷小 但 不是无穷小
定理2有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。 f(x)≤ M lima=0→if(x)x=0 证设lima(x)=0 x→>x0 f(x)≤M(0<x-x<a) 欲证limf(x)a(x)=0 x→>x0 October 2004
October, 2004 定理 2 有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。 lim 0 = lim ( ) 0 f x = 证 设 f x M ( ) 0 lim ( ) 0 x x x → = 欲证 0 lim ( ) ( ) 0 x x f x x → = 0 1 (0 ) − x x f x M ( )