冷定义:[R;+为环当第二个运算*满足 交换律时,称为交换环。 冷对于M;+,×]因为一般AxB≠BxA,故不是 交换环 冷而[P(S);,门,【z;+,则是交换环 冷定义:[R;+,为环当第二个运算*有单 位元时(一般表示为1时称该环为有单位 元环 关于环的修饰都是对第二个运算而言
❖ 定义：[R;+,*]为环,当第二个运算*满足 交换律时, 称为交换环。 ❖ 对于[M;+,],因为一般ABBA,故不是 交换环 ❖ 而[P(S);,∩], [Z;+, ]则是交换环. ❖ 定义：[R;+,*]为环,当第二个运算*有单 位元时(一般表示为1)时称该环为有单位 元环 ❖ 关于环的修饰都是对第二个运算而言
、环的性质 1.环的单位元与零元 关于第1个运算的单位元通常用0表 如果环是有单位元的环,通常将关 于第2个运算的单位元用1表示。 0和1都是记号,并不是数字
二、环的性质 1.环的单位元与零元 ❖关于第1个运算的单位元通常用0表 示 ❖如果环是有单位元的环，通常将关 于第2个运算的单位元用1表示。 ❖0和1都是记号,并不是数字
冷定理151:[R计+米为环,则对任ab∈R, 有 (1)a*0=0*a=0 冷(2)a*(-b)=(-a)*b=(a+b) 冷(3)(-a)*(-b)=a*b 冷(4如果环有单位元,则(1)*a=a, (5如果环有单位元,则(-1)米(-1)=
❖ 定理15.1：[R;+,*]为环,则对任a,bR, 有: ❖ (1)a*0=0*a=0 ❖ (2)a*(-b)=(-a)*b=-(a*b) ❖ (3)(-a)*(-b)=a*b ❖ (4)如果环有单位元，则(-1)*a=-a, ❖ (5)如果环有单位元，则(-1)*(-1)=1
关于第1个运算的单位元0在第2个运算* 下,对任意a∈R,有a*0=0米=0。即0为*的 零元 称关于第个运算的单位元为环的零元。 如果环是有单位元的环,则将关于第2个 运算的单位元称为环的单位元。 说明:关于环的修饰都是对第二个运算 而言
❖ 关于第1个运算的单位元0在第2个运算* 下，对任意aR,有a*0=0*a=0。即0为*的 零元。 ❖ 称关于第1个运算的单位元为环的零元。 ❖ 如果环是有单位元的环，则将关于第2个 运算的单位元称为环的单位元。 ❖ 说明：关于环的修饰都是对第二个运算 而言