库拉托斯基定理虽然很漂亮，但是在具体判定一个图是不是平面图时.这个定理并不能起作用。因此以后仍有许多这方面的研究工作
库拉托斯基定理虽然很漂亮, 但是在具体 判定一个图是不是平面图时,这个定理并 不能起作用。因此以后仍有许多这方面 的研究工作
三、对偶图定义6.3：设G是平面图Ｇ的平面嵌入，则Ｇ的几何对偶G构造如下。(1)在G 的每一个面 f内恰放唯一的一个顶点 *;(2)对G 的两个面 f,f的公共边 x,作边 xk*={f*,f*)与xx相交;得到图记为G*即G的几何对偶(简称G的对偶)。易知，若×是G的一条桥(桥的定义见习题5.13)，则G*有一个自环并且这个自环关联的顶点在x所在面内并规定自环经过桥一次且仅一次
三、对偶图 定义 6.3：设G ~ 是平面图 G 的平面嵌入, 则 G 的几何对偶 G * 构造如下: (1)在G ~ 的每一个面 f 内恰放唯一的一个顶点 f*; (2)对G ~ 的两个面 fi ,fj的公共边 xk,作边 xk*={fi*,fj*}与 xk相交; 得到图记为 G*,即 G 的几何对偶(简称 G 的对偶)。 易知, 若 x 是G ~ 的一条桥(桥的定义见习题 5.13), 则 G*有一个 自环,并且这个自环关联的顶点在 x 所在面内,并规定自环经过 桥一次且仅一次
例如下图中G的边用实线表示.G*的边用红线表示，这一例子中G就是G。显然G*有多重边当且仅当中存在两个面至少有两条公共边
例如下图中 G 的边用实线表示,G*的边用红线表示, 这一例子 中G ~ 就是 G。显然 G*有多重边当且仅当G ~ 中存在两个面至少 有两条公共边
，在这里几何对偶常简称为对偶。由定义可知，若G是连通平面图，则G*也是连通平面图，而且G和G*的顶点数，面数和边数有下列简单的关系。定理6.4：设G是有n个顶点，e条边,f个面的连通平面图：又设G的几何对偶G*有n*个顶点,e*条边,f*个面,则n*=f,e*=e,f*=n
在这里几何对偶常简称为对偶。 由定义可知,若G是连通平面图, 则G*也 是连通平面图,而且G和G*的顶点数, 面 数和边数有下列简单的关系。 定理 6.4：设G是有n个顶点,e条边,f个面 的连通平面图;又设G的几何对偶G*有n* 个顶点,e*条边,f*个面,则 n*=f,e*=e,f*=n
同样T福是连F简单的DrD**(b)(a)图6.5的任何两个几何对偶必同构又平面图G,与G,同构，但未必G,*与G2同构。关键是嵌入方式不同
由于平面图G的对偶G*也是平面图, 同样 可对G*作几何对偶,记为G**。若G是连 通的, 则G**与G之间有一个特别简单的 关系, 如下所述。 定理 6.5：G是连通平面图当且仅当 G** 同构于G。 由定义 6.3 的过程可知, 平面图G的任何 两个几何对偶必同构。 又平面图G1与G2同构, 但未必G1 *与 G2 * 同构。关键是嵌入方式不同