第4章稳定性与李雅普诺夫方法 说明： 1)任意平衡状态适当的坐标变换状态空间原点 今后只讨论系统在状态空间原点的稳定性； 2)稳定性是指系统相对于某个平衡状态的稳定性。 线性定常系统由于只有唯一的一个平衡点，所以才笼统地 讲所谓的系统稳定性问题。 对其余系统则由于可能存在多个平衡点，而不同平衡点可 能表现出不同的稳定性，因此必须逐个地分别加以讨论。 April 10,2020 返回上一页下一页
返回 上一页 下一页 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法 April 10, 2020 1）任意平衡状态 适当的坐标变换 状态空间原点 今后只讨论系统在状态空间原点的稳定性； 说明： 2）稳定性是指系统相对于某个平衡状态的稳定性。 线性定常系统由于只有唯一的一个平衡点，所以才笼统地 讲所谓的系统稳定性问题。 对其余系统则由于可能存在多个平衡点，而不同平衡点可 能表现出不同的稳定性，因此必须逐个地分别加以讨论
第4章稳定性与李雅普诺夫方法 4.1.2稳定性的几个定义补充知识范数的概念 李雅普诺夫稳定性定义中采用了范数的概念。 范数的定义：在n维状态空间中，向量x的长度称为向 量x的范数，用x表示，则 |x=Vx+x++x=(xx)月 向量(x-x)范数可写成 x-=V(-x2+(x,-xe）月 通常又将x-x称为x与x的距离。当向量（x-七)的范 数限定在某一范围之内时，则记为 x-x≤εE>0 几何意义为，在状态空间中以x为球心，以为半径的 一个球域，记为S(ε)。 April 10,2020 返回上一页下一页
返回 上一页 下一页 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法 April 10, 2020 4.1.2 稳定性的几个定义 补充知识 范数的概念 李雅普诺夫稳定性定义中采用了范数的概念。 范数的定义：在n维状态空间中，向量x的长度称为向 量x的范数，用‖x‖表示，则 2 2 2 2 1 n x = x + x ++ x 2 1 T = (x x) 向量（x − xe ）范数可写成 2 2 1 ( ) ( ) 1 n e e n e x − x = x − x + x − x 通常又将‖x − xe ‖称为x与 xe的距离。当向量（x − xe）的范 数限定在某一范围之内时，则记为 ‖x − xe ‖≤ ε ε > 0 几何意义为，在状态空间中以xe为球心，以ε为半径的 一个球域，记为S(ε )
第4章稳定性与李雅普诺夫方法 设所研究系统的齐次状态方程为 =f(x,t) (1) 当e很小时，则称s(e)为xe的邻域。因此，若有xo∈s(6), 则意味 着‖xo-xe‖≤6。同理，若方程式(1)的解Φ(t;xo,t6)位于球 域s(e)内，便有 ‖Φ(t;xo,to)-xe≤e,t≥to (7) 式(7)表明齐次方程式(1)内初态xo或短暂扰动所引起的自由响应是有 界的。李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为 四种情况。 1.李雅普诺夫意义下稳定和一致稳定 2.渐近稳定 3.大范围渐近稳定 4.不稳定 April 10,2020 返回上一页下一页
返回 上一页 下一页 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法 April 10, 2020 1. 李雅普诺夫意义下稳定和一致稳定 2. 渐近稳定 3. 大范围渐近稳定 4. 不稳定
第4章稳定性与李雅普诺夫方法 4.1.2稳定性的几个定义 1.李氏意义下的稳定和一致稳定 如果对每个实数>0都对应存在另一个实数 8(e,t0)>0,使当满足 lco-xek6(c,t0时 从任意初始态x0出发的解D(t)都满足： D(t;xo,t6)-x≤6，t≤t<o∞ 则称x。是李雅普诺夫意义下稳定的。 如果6与t无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。 April 10,2020 返回上一页下一页
返回 上一页 下一页 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法 April 10, 2020 4.1.2 稳定性的几个定义 1.李氏意义下的稳定和一致稳定 ,使当满足 如果对每个实数 都对应存在另一个实数 从任意初始态 出发的解 都满足： 则称 xe是李雅普诺夫意义下稳定的。 如果δ与t0无关,则称这种平衡状态是一致稳定的
第4章稳定性与李雅普诺夫方法 时变系统： 6与t有关x是李氏稳定 定常系统： 8与t无关， x是一致稳定的。 注意： lx-xell→ 欧几里得范数 在n维状态空间中，有： x-=V-xe5-+-xe》 April 10,2020 返回上一页下一页
返回 上一页 下一页 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法 April 10, 2020 定常系统： 与 无关， 是一致稳定的。 时变系统： 与 有关 xe是李氏稳定 xe 注意： 欧几里得范数 在n维状态空间中，有： δ ε