第4章稳定性与李雅普诺夫方法 经典控制理论 输出稳定 稳定性分析 现代控制理论 状态稳定 李雅普诺夫方法 ÷1892年，俄国学者李雅普诺夫提出了稳定性定理， 适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多 变量等系统。 李氏第一法（间接法）：求解系统微分方程， 据解的性质判断系统稳定性； 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构 造李氏函数，直接判断系统稳定性。 April 10,2020 返回上一页下一页
返回 上一页 下一页 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法 April 10, 2020 稳定性分析 经典控制理论 现代控制理论 输出稳定 状态稳定 李雅普诺夫方法 李氏第一法（间接法）：求解系统微分方程， 据解的性质判断系统稳定性； 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构 造李氏函数，直接判断系统稳定性。 1892年，俄国学者李雅普诺夫提出了稳定性定理， 适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多 变量等系统
第4章稳定性与李雅普诺夫方法 4.1李雅普诺夫关于稳定性的定义 从经典控制理论可知，线性系统的稳定性只与系统的结构 和参数而与系统的初始条件以及外界扰动的大小无关。但非线 性系统的稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。因此 在经典控制理论中没有给出稳定性的一般定义。 稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运 动的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而言 的。对于线性定常系统，由于通常只存在唯一的一个平衡状态， 所以，只有线性定常系统才能笼统地将平衡点的稳定性视为整 个系统的稳定性。而对于其他系统，平衡点不止一个，系统中 不同的平衡点有着不同的稳定性，我们只能讨论某一平衡状态 的稳定性。为此，首先给出关于平衡状态的定义，然后再介绍 李雅普诺夫关于稳定性的定义。 April 10,2020 返回上一页下一页
返回 上一页 下一页 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法 April 10, 2020 4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运 动的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而言 的。对于线性定常系统，由于通常只存在唯一的一个平衡状态， 所以，只有线性定常系统才能笼统地将平衡点的稳定性视为整 个系统的稳定性。而对于其他系统，平衡点不止一个，系统中 不同的平衡点有着不同的稳定性，我们只能讨论某一平衡状态 的稳定性。为此，首先给出关于平衡状态的定义，然后再介绍 李雅普诺夫关于稳定性的定义。 从经典控制理论可知，线性系统的稳定性只与系统的结构 和参数而与系统的初始条件以及外界扰动的大小无关。但非线 性系统的稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。因此 在经典控制理论中没有给出稳定性的一般定义
第4章稳定性与李雅普诺夫方法 4.1李雅普诺夫意义关于稳定性的定义 4.1.1系统状态的运动及平衡状态 从xo出发的 1初始状态 运动轨线 设x(t)=f(,t)的解为x=D(t;o,t) 则x。=D(t;x,t)→初始状态 状态轨线或 2平衡状态 系统的运动 设系统(t)=f(x,t),若存在状态xe满足： 文。=f(x。,t)=0 xe→系统的平衡状态 April 10,2020 返回上一页下一页
返回 上一页 下一页 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法 April 10, 2020 4.1 李雅普诺夫意义关于稳定性的定义 4.1.1 系统状态的运动及平衡状态 1 初始状态 设 ( ) 的解为 ( ) 0 0 x( t ) = f x,t x =Φ t; x ,t 初始状态 2 平衡状态 xe → 系统的平衡状态 从x0出发的 运动轨线 设系统 x( t ) = f (x,t)，若存在状态xe满足： 状态轨线或 系统的运动
第4章稳定性与李雅普诺夫方法 1)线性系统 文=Ax x∈Rnh 坐标原点是系统 的唯一的一个平 A非奇异尤。=Ax。≡0→X。=0 衡点。 A奇异 Axe=0→xe无穷多个 2)非线性系统 x。=f(xe,t)=0 xe→可能有多个平衡状态 由于存在坐标变换，今后只取坐标原点作为系统的平衡点。 April 10,2020 返回上一页下一页
返回 上一页 下一页 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法 April 10, 2020 1) 线性系统 A非奇异 A奇异 无穷多个 2) 非线性系统 xe → 可能有多个平衡状态 坐标原点是系统 的唯一的一个平 衡点。 由于存在坐标变换，今后只取坐标原点作为系统的平衡点
第4章稳定性与李雅普诺夫方法 例4.1.1 X1=X1 心2=+x2-x3求系统平衡状态。 解：令xe=f(xet)=0 1e=0 '1e=0 x2e=0 x2e-xe=x2e(1+x2e)(1-x2e)=0 有三个平衡状态 ,0e2[9,% April 10,2020 返回上一页下一页
返回 上一页 下一页 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法 April 10, 2020 x1e=0 x2e=0 ⇒ 有三个平衡状态