Inx1 rd(xl° +2x+2)d(x +1)(15)dx10 +2x5+2)210J(xl0+2x5+2)25[1+(x+1) +111-arctan(x +1)+C10(xl°+2x+2)10(xl°+2x +2) 10x+21arctan(x+1)+C。10(xl0 +2x +2)10x3n-中1(16)2x"d(x2n +1)d:2nJ (x2n +1)22nx2n+1 x+}{ dx"1x1-arctanx"+C。2nx2n+12nJ1+x2n2nx2n+12n2．在什么条件下，(x)=+bx+的原函数仍是有理函数?x(x +1)2Bc解 (x)=+可化为部分分式A于是(x+1)?x(x + 1)2x+1XA(x+1)? + Bx(x+1)+Cx = ax2+bx +c,要使(s)-+的原函数为有理函数，必须4=0.B=0，由此可x(x + 1)2得a=0c=0。3.设p,(x)是一个n次多项式，求p,(x)(x-a)"+解由于p,(x)="()-a)，所以k!0dxFp,("(a)P,(x)dx1-ak!a)"-1K=0(x1_F p(*(a)P"(a)in|x-α+C 。= kl(n-k) (x-a)"-kn!191
2 7 ln ln 1 7 = − x + x +C 。 (15) x x x dx 9 10 5 2 ( ) + + 2 2 ∫ ∫ ∫ + + + − + + + + = 5 2 2 5 10 5 2 10 5 [1 ( 1) ] ( 1) 5 1 ( 2 2) ( 2 2) 10 1 x d x x x d x x 5 5 10 5 10 5 1 1 1 arctan( 1) 10( 2 2) 10( 2 2) 10 x x C x x x x + = − − − + + + + + + 5 5 10 5 2 1 arctan( 1) 10( 2 2) 10 x x C x x + = − − + + + + 。 (16) x x dx n n 3 1 2 2 1 − + ∫ ( ) = ∫ ∫ + = − + 1 1 2 1 2 ( 1) 1 2 2 2 2 n n n n n x x d n dx x x n 2 2 2 1 1 1 1 arctan 2 1 2 1 2 1 2 n n n n n n n x dx x x C n x n x n x n = − + = − + + + + + ∫ 。 ⒉ 在什么条件下， f x ax bx c x x ( ) ( ) = + + + 2 2 1 的原函数仍是有理函数？ 解 f x ax bx c x x ( ) ( ) = + + + 2 2 1 可化为部分分式 2 1 ( +1) + + + x C x B x A ，于是 A x + + Bx x + + Cx ≡ ax + bx + c 2 2 ( 1) ( 1) ， 要使 f x ax bx c x x ( ) ( ) = + + + 2 2 1 的原函数为有理函数，必须 A = 0, B = 0，由此可 得 a = 0, c = 0。 ⒊ 设 pn (x)是一个n次多项式，求 ∫ + − dx x a p x n n 1 ( ) ( ) 。 解 由于 pn (x) =∑= − n k k k n x a k p a 0 ( ) ( ) ! ( ) ，所以 ∫ + − dx x a p x n n 1 ( ) ( ) ∑ ∫ − + = − = 1 0 ( ) ! ( ) ( ) n k n k k n x a dx k p a 1 ( ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) ln !( ) ( ) ! n k n n n n k k p a p a x a C k n k x a n − − = = − + − + − − ∑ 。 191
4．求下列不定积分：1(1)dx :a)(b-x)/2+4xx2 +1(4)3dxx/x4 +1/x+1-Vx-1x+1(5)(6)dx;Vx+1+yx-1dxdx(7) (8)4V1+x2/x(1 + x)dx(x-4)2(9)(10)Vx+Vx:(x+1)dxdx(12)了(11)x/1+x;/(x-2)(x+1)【xd/2+4x==/2+4x-「 /2 + 4xdx解（1）dx=V2+4x=J2+4x--12V2+41 +c2(x-1)2+4x+C。6（2）不妨设a<b，dxd2x-a-b=arcsinb-a-a)(b-a+b2注：本题也可令x=acos?t+bsin?t，解得dxx-a+C2arcsin-a)(b-x)Ard(l+x-dbX(3）1+r2x-17arcsin2xV59192
⒋ 求下列不定积分： ⑴ x x dx 2 4 + ∫ ； ⑵ ∫ (x − a)(b − x) dx ； ⑶ ∫ + − dx x x x 2 2 1 ； ⑷ x x x dx 2 4 1 1 + + ∫ ； ⑸ x x x x dx + − − + + − ∫ 1 1 1 1 ； ⑹ x x dx + − ∫ 1 1 ； ⑺ dx x x (1+ ∫ ) ； ⑻ dx x x 4 2 1+ ∫ ； ⑼ dx x x + ∫ 4 ； ⑽ ∫ + − dx x x 3 8 2 ( 1) ( 4) 。 ⑾ dx ( ) x x − + ( ) ∫ 2 1 3 2 ； ⑿ dx x x 14 4 + ∫ ； 解（1） x x dx 2 4 + ∫ = ∫ ∫ + = + x − + xdx x xd x 2 4 2 1 2 4 2 2 4 2 1 1 3 2 4 (2 4 ) 2 12 x = + x − + x C+ 1 ( 1) 2 4 6 = −x + x +C 。 （2）不妨设a < b， ∫ (x − a)(b − x) dx ∫ + − − − = 2 2 ) 2 ) ( 2 ( a b x b a dx 2 arcsin x a b C b a − − = + − 。 注：本题也可令 x = a cos 2 t + bsin 2 t ，解得 2arcsin ( )( ) dx x a C x a b x b x − = + − − − ∫ 。 （3）∫ + − dx x x x 2 2 1 ∫ ∫ ∫ + − + + − + − − + − + − = − 2 2 2 2 2 2 1 3 1 (1 ) 2 1 1 1 x x dx x x d x x dx x x x x 1 2 7 (2 3) 1 arcsin 4 8 5 2x 1 x x x C − = − + + − + + 。 192