88当x>X时恒有α当 x>X,时恒有|β22取 X = max X,,X,子,，当 x>X时,恒有88<"+α±β≤α +β= &,2 2:.α±β→0(x→8)注意天无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小例如,n→时,-是无穷小,n但n个-之和为1不是无穷小.n
x X ; 2 1 e 当 > 时恒有 < x X ; 2 2 e 当 > 时恒有 < X max{ X ,X }, 取 = 1 2 当 x > X时,恒有 + 2 2 e + e < = e, → 0 (x → ) 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如 时 是无穷小， n n 1 , → , 1 . 1 但 个 之和为 不是无穷小 n n
定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小证 设函数u在U(xo,8,)内有界则3M >0,8, >0,使得当0< x-x<8,时恒有u≤M.又设α是当x→x,时的无穷小:. >0,382 >0,使得当0<x-x<8,时但有aki
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 设函数u在U 0 (x0 ,d1 )内有界， . 0, 1 0, 0 0 1 u M M x x > d > < - < d 恒有 则 使得当 时 , 又设是当x → x0时的无穷小 . 0, 0, 0 2 0 2 M x x e < e > d > < - < d 恒 有 使得当 时
取8=min[81,8,}，则当0<x-x<8时,恒有[u.α = ul αl<M. = 8.M:.当x→x,时,u·α为无穷小推论1在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小推论2常数与无穷小的乘积是无穷小推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小1例如,当x → 0时,x sin -,x’ arctan =都是无穷小xX
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. min{ , }, 1 2 取 d = d d 则当0 < x - x0 < d时,恒有 u = u M M e < = e, , . 当x → x0时 u 为无穷小 x x x x x 1 , arctan 1 , 0 , sin 例如 当 → 时 2 都是无穷小