银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第十一章 无穷级数

银川科技职业学院《高签数学》救集 第十一童无穷级邀 因为=山+1-山+2+·也是收敛的交错级数，所以s+1. 例9证明级数∑(-1)1收敛，并估计和及余项。 n=l n 证这是一个交错级数.因为此级数满足 0%w-分1,22m4-月0. 700 n→01n 由莱布尼茨定理，级数是收敛的，且其和s<仙=l,余项S1= n+ 三、绝对收敛与条件收敛： 绝对收敛与条件收敛： 若级数方以，收敛，则称级数立4，绝对收敛：若级数24， n=1 n=1 n= 收敛， 而级数u,发散，则称级2山，条件收敛 n=l n=l 例10 级数2(-1)1是绝对收敛的，而级数2(-1y上是条件收敛的. n=1 n2 n=l n 定理7如果级数4，绝对收敛，则级数山，必定收敛。 n=1 n=l 值得注意的问题： 如果级数2，发散，我们不能断定级数2，也发散。 n=l n=l 但是，如果我们用比值法或根值法判定级数∑4发散， n=l 则我们可以断定级数 4，必定发散 n=l 这是因为，此时u不趋向于零，从而也不趋向于零，因此级数∑n也是发 n=】 散的 例11判别级数血0的收敛性， n=i n2 解因为smns1 n2 而级数三六是收敛的 第11页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 11 页 因为 |rn|un1un2  也是收敛的交错级数 所以|rn|un1 例 9 证明级数 1 ( 1) 1 1      n n n 收敛 并估计和及余项 证 这是一个交错级数 因为此级数满足 (1) 1 1 1 1    n   un n n u (n1, 2,  ) (2) 0 1 lim  lim    n u n n n  由莱布尼茨定理 级数是收敛的 且其和 su11 余项 1 1 | | 1     n rn un  三、绝对收敛与条件收敛 绝对收敛与条件收敛 若级数   1 | | n n u 收敛 则称级数   n1 n u 绝对收敛 若级数   n1 n u 收敛 而级数   1 | | n n u 发散 则称级   n1 n u 条件收敛 例 10 级数      1 2 1 1 ( 1) n n n 是绝对收敛的 而级数      1 1 1 ( 1) n n n 是条件收敛的 定理 7 如果级数   n1 n u 绝对收敛 则级数   n1 n u 必定收敛 值得注意的问题 如果级数   1 | | n n u 发散 我们不能断定级数   n1 n u 也发散 但是 如果我们用比值法或根值法判定级数   1 | | n n u 发散 则我们可以断定级数   n1 n u 必定发散 这是因为 此时|un|不趋向于零 从而 un 也不趋向于零 因此级数   n1 n u 也是发 散的 例 11 判别级数   1 2 sin n n na 的收敛性 解 因为| 2 2 1 | sin n n na   而级数 2 1 1 n n    是收敛的

银川科技职业学院《高签数学》教素 第十一童无穷级邀 所以区数。电收效从质级数三地对收效 n2 例12判别级数-y+片y的收敛性 n=1 解：邮+r,有☑=m+→r=e>l, 可知m%0,因此级数-少2+片r发散 第12页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 12 页 所以级数   1 2 | sin | n n na 也收敛 从而级数   1 2 sin n n na 绝对收敛 例 12 判别级数      1 2 ) 1 (1 2 1 ( 1) n n n n n 的收敛性 解 由 2 ) 1 (1 2 1 | | n n n n u    有 1 2 1 ) 1 lim (1 2 1 lim | |      e n u n n n n n  可知 lim 0  n n u  因此级数      1 2 ) 1 (1 2 1 ( 1) n n n n n 发散

银川科技职业学院《高签数学》救朱 第十一童无穷级邀 §11.3 幂级数 一、函数项级数的概念 函数项级数：给定一个定义在区间I上的函数列{u(x)},由这函数列构成 的表达式 l1(x)+(x)t3(x)t·+4n(x)+· 称为定义在区间1上的（函数项）级数，记为4，(， 1= 收敛点与发散点： 对于区间1内的一定点，若常数项级数，()收敛，则称 n= 点和是级数u,)的收敛点.若常数项级数u,(化)发散，则称 1=1 n= 点和是级数4，()的发散点 =1 收敛域与发散域： 函数项级数24，()的所有收敛点的全体称为它的收敛域，所 m=] 有发散点的全体称为它的发散域 和函数： 在收敛域上，函数项级数24，)的和是x的函数)， 1=1 )栋为函数项级数豆4()的和函数。并写成-4（国。 zu4是产()的简便记法以下不得重述 在收敛域上，函数项级数∑n(x)的和是x的函数s(x), s(x)称为函数项级数∑(x)的和函数，并写成s(x)=∑山(x). 这函数的定义就是级数的收敛域， 部分和： 函数项级数2u,)的前n项的部分和记作sx, = 函数项级数∑ux)的前n项的部分和记作sx,即 Sn(x)=h1(x)+2(x)+u3(x)+··+un(x) 在收敛域上有msn)=s()或sx→sxn-→o). 余项 函数项级数u,)的和函数s)与部分和s,)的差 n=l 第13页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十一章 无穷级数 第 13 页 § 11 3 幂级数 一、函数项级数的概念 函数项级数 给定一个定义在区间 I 上的函数列{un(x)} 由这函数列构成 的表达式 u1(x)u2(x)u3(x)    un(x)    称为定义在区间 I 上的(函数项)级数 记为   1 ( ) n n u x  收敛点与发散点 对于区间 I 内的一定点 x0 若常数项级数   1 0 ( ) n n u x 收敛 则称 点 x0 是级数   1 ( ) n n u x 的收敛点 若常数项级数   1 0 ( ) n n u x 发散 则称 点 x0 是级数   1 ( ) n n u x 的发散点 收敛域与发散域 函数项级数   1 ( ) n n u x 的所有收敛点的全体称为它的收敛域 所 有发散点的全体称为它的发散域 和函数 在收敛域上 函数项级数   1 ( ) n n u x 的和是 x 的函数 s(x) s(x)称为函数项级数   1 ( ) n n u x 的和函数 并写成     1 ( ) ( ) n n s x u x  ∑un(x)是   1 ( ) n n u x 的简便记法 以下不再重述 在收敛域上 函数项级数∑un(x)的和是 x 的函数 s(x) s(x)称为函数项级数∑un(x)的和函数 并写成 s(x)∑un(x) 这函数的定义就是级数的收敛域 部分和 函数项级数   1 ( ) n n u x 的前 n 项的部分和记作 sn(x) 函数项级数∑un(x)的前 n 项的部分和记作 sn(x) 即 sn(x) u1(x)u2(x)u3(x)    un(x) 在收敛域上有 lim s (x) s(x) n n   或 sn(x)s(x)(n)  余项 函数项级数   1 ( ) n n u x 的和函数 s(x)与部分和 sn(x)的差