性质:若A与B相互独立,则A与B、A与B、A与 B也相互独立。 证明A与B相互独立 证明:P(AB)=P(A-AB) P(A)-P(AB) P(A)-P(AP(B P(A)(1-P(B) P(A)P(B) 即A与B相互独立
性质： 若 A与 B相互独立，则 A与 B 、 A 与 B、 A 与 B 也相互独立。 证明 A与 相互独立 证明 B 相互独立 证明：P(AB) = P(A − AB) = P(A) − P(AB) = P(A) − P(A)P(B) = P(A)(1 − P(B)) = P(A)P(B) 即 A 与 B 相互独立
例1.设有甲、乙两名射手,他们命中目标的概率分别为 0.8和07,现两人同时向该目标射击一次,试求 (I)目标被击中的概率;()若已知目标被击中, 问它是甲命中的概率是多少? 解:设A=(甲命中目标,B={乙命中目标,C=(目标被命中} 8OP(C)=P(AU B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.94. 也可用对立事件计算, P(C)=1-P(C)=1-P(AB) =1-P(A)P(B)=0.94 (2)所求为条件概率P(AC), P(AC) P(AC)P(A)0.840 P(C)P(C)0447
例 1. 设有甲、乙两名射手，他们命中目标的概率分别为 0 8. 和 0 7. ，现两人同时向该目标射击一次，试求： （1）目标被击中的概率； (2) 若已知目标被击中， 问它是甲命中的概率是多少？ 解：设 A = {甲命中目标}, B ={乙命中目标},C ={目标被命中} 问它是甲命中的概率是多少？ (1) P(C) = P(A U B) = P(A) + P(B) − P(A)P(B) =0.94. 也可用对立事件计算， 1 ( ) ( ) 0 94 ( ) 1 ( ) 1 ( ) = − = = − = − P A P B P C P C P AB . （2）所求为条件概率 P(A | C) ， = 1 − P(A)P(B) = 0.94 47 40 0.94 0.8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) = = = = P C P A P C P AC P A C . ( ) ( )
推广: ()三个事件BC两两独立: 两两独立 若满足P(AB=P(A)P(B)2 P(BC)=P(B)(C) 相互独立 P(AC)=P(A)P(C) (2)ABC柜互独立: 若满足P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(AP(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 注意:两两独立≠相互独立
推广: (1)三个事件 A, , B C 两两独立： 若满足 P( AB P ) = ( A)P B( ) 两两独立 相互独立 若满足 ( ) ( ) ( ) P BC P B P C ( ) ()( ) = P AC P A P C ( ) ( )() = =相互独立 ？ (2) ABC , , 相互独立： 若满足 P AB P A P B ( ) ( )() = P BC P B P C ( ) ()( ) = P( ) ( )() AC P = A P C P ABC P A P B P C ( ) ( )()( ) = 注意：两两独立≠ 相互独立
例2有四个球,其中一个红,一个白,一个黑,还有 一个是红白黑三色球,任取一球,设A,B,C分别 2表示取到的球上有红、白、黑色,问ABC是否 相互独立。 解:P(A)=P(B)=P(C)= P(AB)=P(AC)=P(BC)= P(AB)=P(AP(B) P(AC)=P(AP(C) P(BC)=P(B)P(C A,B,C是两两独立的。 P(ABC)=+ P(AP(B)P(C)= 4 A,B,C不是相互独立的
例 2.有四个球，其中一个红，一个白，一个黑，还有 一个是红白黑三色球，任取一球，设 A, , B C 分别 表示取到的球上有红、白、黑色，问 ABC , , 是否 相互独立。 解： ; 21 P(A) = P(B) = P(C) = 2 1 4 ∴ P( AB ) = P( AC ) = P(BC ) = P( AB ) = P( A)P(B) P( AC ) = P( A)P(C ) P(BC ) = P(B)P(C ) ∴ ABC , , 是两两独立的。 1 1 P(BC ) = P(B)P(C ) A B C 不是相互独立的 8 1 ( ( ) ( ) 41 Q P(ABC) = ≠ P AP B P C = ∴ A, , B C 不是相互独立的
推广:4,A2…4相互独立: 如果对任意的m,2≤m≤m, 任取1≤1<2<…<i≤n 有P(A4…A,)=P(4)P(A2)…P(4) (共有等式Cn+C+…Cm=(1+1y-C0-Cn =2"-1-n个)
推广： A1 2 ,,, A L An相互独立： 如果对任意的m, 2 ≤ m ≤ n， 任取1≤ i1 < i2 <L< im ≤ n 有 ( ) ( ) ( ) ( ) i1 i2 im i1 i2 im P A A LA = P A P A LP A 共有等式C C C C C 2 3 n n 0 1 （共有等式Cnn n C C (1 1) C C n n n n 2 3 0 1 + +L = (1+1) − − = −− 2 1 n n 个）