注:配方法化二次型为标准形一般有两种情形: 情形1二次型中含有平方项,如含有x12,此时先集中含有x1的 项,对x1配成完全平方,再集中含有x2的项,对x2配成完全平 方,如此继续下去,直到化为标准形,如例2(*)式一步. 情形2二次型中不含平方项,只含有xx,的项,此时先作可逆线性 变换 Vi ty y1-y, k≠ Xk =yk? 将二次型化为含平方项的二次型,如例2,再按情形1中介绍的方 法做
注：配方法化二次型为标准形一般有两种情形： 情形1 二次型中含有平方项，如含有 x1 2，此时先集中含有 x1 的 项，对 x1 配成完全平方，再集中含有 x 2 的项，对 x 2 配成完全平 方，如此继续下去，直到化为标准形，如例2 (*)式一步. 情形2 二次型中不含平方项，只含有 xi xj 的项，此时先作可逆线性 变换 ., , , , jik yx yyx yyx kk jii jii ≠ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −= += 将二次型化为含平方项的二次型，如例 2，再按情形 1中介绍的方 法做
例3设二次型f(x2x2x3)=x2+x2+cx2+4x3+4x2x3的秩 为2. (1)求参数C; (2)求一可逆变换将该二次型化为标准形; (3)f(x,x2x3)=1是什么曲面? 解由f(x1,x2,x3)=x2+x2+cx32+4xx3+4x2x3的秩为2知, 二次型的矩阵A=012的秩为2,故C=8 又f(x12x2x3)=x1+x2+8x3+4xx3+4x2x3 =(x1+2x3)2+(x2+2x3)2=y12+y2
是什么曲面？ 求一可逆变换将该二次型化为标准形； 求参数 ； 为 例 设二次型 的秩 1),,( )3( )2( (1) 2. 3 ),,( 44 321 3231 2 3 2 2 2 1321 = ++++= xxxf c xxxxcxxxxxxf .8 2 22 210 201 ),,( 2 44 3231 23 22 21321 = ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ = ++++= c c A xxxxcxxxxxxf 二次型的矩阵 的秩为 ，故 由解 的秩为 知， ,)2()2( ),,( 448 2 2 2 1 2 32 2 31 3231 2 3 2 2 2 1321 yyxxxx xxxxxxxxxxf +=+++= 又 ++++=
y1=x1+2x3 x=yi-2y 其中{y=x2+2x2或{x2=y2-2y2 x 所用线性变换的矩阵为 10-2 C=01-2 001 由|A-E=0得A的特征值为A1=0,2=143=9,故在正交 变换下,可将∫=1化为y2+9y3=1,为椭圆柱面 注:设Y=QX,Q为正交矩阵,则有 IY2-YY=(0X)(0X=X0OX-XXY-IXlI
⎪⎩ ⎪⎨⎧ = −= −= ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = += += . ,2 ,2 , ,2 ,2 13 322 311 31 321 311 yx yyx yyx xy xxy xxy 其中 或 . 100 210 201 ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ −− C = 所用线性变换的矩阵为 19 1 . 0|| 9,1,0 2 3 2 2 1 32 变换下，可将 化为 ，为椭圆柱面 由 得 的特征值为 ，故在正交 = =+ =− === yyf λ AEA λλλ 注：设 Y=QX，Q为正交矩阵，则有 ||Y||2=YTY=(QX)T(QX)=XTQTQX=XTX=||X||2
即正交变换保持向量长度不变.只有在正交变换下将二次型化为 标准形,才能确定它所表示的曲面类型 例4设二次型 f(x,x2x3)=x1+x2-x3+2x1x2+2xx3-2x2x3 经正交变换X=Q化为标准形-2y2+y2+2y3,求:k 及正交阵Q 解二次型的矩阵为 k A=k1-1
即正交变换保持向量长度不变. 只有在正交变换下将二次型化为 标准形，才能确定它所表示的曲面类型. . 22 ),,( 222 4 2 3 2 2 2 1 323121 2 3 2 2 2 1321 Q QYX kyyy xxxxxkxxxxxxxf 及正交阵 经正交变换 化为标准形 ，求： 例 设二次型 = ++− −++−+= , 111 11 11 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− = k − k A 解 二次型的矩阵为