§2特殊类型微分方程的解法 初等积分法 微分方程的初等解法:初等积分法 求解微分方程 求积分 (通解可用初等函数或积分表示出来)
微分方程的初等解法: 初等积分法 求解微分方程 求积分 (通解可用初等函数或积分表示出来) §2 特殊类型微分方程的解法 ——初等积分法
§21分离变量法 定义:形如 h(x)g(y) 的方程称为变量分离方程 其特点 方程右端是只含x的函数与只含y的 函数的乘积
h(x)g( y) dx dy = 定义: 形如 的方程称为变量分离方程 其特点: 方程右端是只含x的函数与只含y的 函数的乘积 §2.1 分离变量法
变量分离方程的解法 (1)分离变量:将该方程化为等式一边只含 变量y,而另一边只含变量x的形式,即 =h(x)dx(其中g()≠=0 例如,4=2x→=2x2 (2)两边积分: 8()=J(x)h (3)计算上述不定积分,求通解
将该方程化为等式一边只含 变量y,而另一边只含变量x的形式,即 变量分离方程的解法: (1)分离变量: h x dx g y dy ( ) ( ) = (其中g(y)0) 例如, 5 4 2 2x y dx dy = x dx y dy 2 5 4 = 2 (2)两边积分: = h x dx g y dy ( ) ( ) (3)计算上述不定积分,求通解
例1求解微分方程=2x的通解 解:分离变量得=2xhk(y≠0) 两端积分,得[中=[2xk 求通解得l=x2+C1 x2+C1 2显式解 y →=±eex=C (C=±e) 显然,y=0也是方程的解只须允许C=0即可 方程通解为:y=Ce为任意常数)
例1 求解微分方程 xy 的通解 dx dy = 2 解: 分离变量,得 xdx y dy = 2 两端积分,得 = xdx y dy 2 ln|y|=x 2+C1 1 2 | | x C y e + = 2 C1 x = e e 2 C1 x y = e e 2 x = Ce ( ) C1 C = e 求通解,得 ∴方程通解为: 2 x y = Ce (C为任意常数) ( y0) 显然, y=0也是方程的解.只须允许C=0即可 显式解
例2求方程1-y2=3x2m的通解 解:分离变量,得 yay 3x 2(±1) 两端积分,得 3x → +c 3x 得通解: +C=0—隐式解 3x 显然,=土也是方程的解但不能并入通解中
例2 求方程 1− y 2 = 3x 2 yy 的通解 解: 分离变量,得 2 2 1 3x dx y ydy = − ( y 1) 两端积分,得 = − 2 2 1 3x dx y ydy C x − − y = − + 3 1 1 2 0 3 1 1 2 − − +C = x y 显然, y= 1也是方程的解.但不能并入通解中 得通解: 隐式解