《高等数学》课程教学资源（知识与题解PPT）3.3.1 局部改变量的估值问题——微分及其运算

§3局部改变量的估值问题 微分及其运算 §3.1微分 微分的概念 微分的几何意义

§3 局部改变量的估值问题 ——微分及其运算 §3.1 微分 一、微分的概念 二、微分的几何意义

微分概念 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量 设边长由x变到x+△x A℃(△x)2 xA JAr 正方形面积S=x2 △S=(x+△x)2-x2 2x△x+(△x)2 = ≈2x△x>S=x2的微分 (1):△x的线性函数→为△的主要部分 (2):△x的高阶无穷小,当△x很小时可忽略

一、微分概念 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量 设边长由x变到x+x 正方形面积S=x 2 S=(x+x) 2−x 2 =2xx+(x) 2 (1) (2) x x (x) 2 xx S= xx x 2 x x (1):x的线性函数 (2):x的高阶无穷小,当|x|很小时可忽略 →为S的主要部分 2xx→S=x 2的微分

定义设函数yf(x)在点x处有增量Ax,若 相应的函数增量小可表示成 △yA△x+0(△x), 其中A与△x无关,4x称为y的线性主部, 0(△x)是关于△x的高阶无穷小,则称函数 yf(x)在点x可微,并称A△x为函数yf(x) 在点x处的微分记作小或4f(x),即 dy=djfx)=A△x 有△y=dy+O(△x)

设函数y=f(x)在点x处有增量x,若 相应的函数增量y可表示成 y=Ax+o(x), 其中A与x无关,Ax称为y的线性主部, o(x)是关于x的高阶无穷小, 则称函数 y=f(x)在点x可微, 并称Ax为函数y=f(x) 在点x处的微分,记作dy或df(x),即 dy=df(x)=Ax 定义 有 y=dy+o(x)

由定义知 (1)小是自变量的改变量△x的线性函数 (2)△y-dy=o(△x)是比△x高阶无穷小 (3)当A≠0时,dy与Ay是等价无穷小 =1+△r) AA→1(△x->0 (4)A与△无关,但与几(x)和x有关 (5)当△很小时,4ydy(线性主部)

由定义知: (1) dy是自变量的改变量x的线性函数 (2) y−dy=o(x)是比x高阶无穷小 A x o x   = + ( ) 1 (3) 当A0时,dy与y是等价无穷小 dy y  →1 (x→0) (4) A与x无关,但与f(x)和x有关 (5) 当|x|很小时,ydy (线性主部)

定理函数(x)在点x可微兮函数fx)在点 x可导,且A=f"(x) 证必要性::x)在点x可微 y=4x+0(△x)力Mrq△x) im今y=A+lmo(△)=A △x→>0△X △x->0△x 即函数(x)在点x可导,且4=f'(x)

函数f(x)在点x可微函数f(x)在点 x可导,且A=f (x) 定理 [证] 必要性: ∵f(x)在点x可微 ∴y=Ax+o(x) x o x A x y   = +    ( ) x o x A x y x x   = +     →  → ( ) lim lim 0 0 =A 即函数f(x)在点x可导,且A=f (x)