·12Kalman滤波理论及其在导航系统中的应于一个惯性导航系统，其系统过程噪声诸如陀螺漂移和加速度计误差等一般与系统初始状态如经度、纬度和高度等是无关的或者关系不大。2.1.3随机线性离散系统的数学模型随机线性离散系统的运动可用带有随机初始状态、系统过程噪声及观测噪声的差分方程和离散型观测方程来描述，它们可以从连续随机线性系统的状态方程和观测方程离散化来得到。下二节将给出具体的连续系统离散化过程。设随机线性离散系统的状态方程和观测方程为Xe = Dr,k-1Xk-1 + Fk,k IWe-1(2.18a)Z=HX,1V(2.18b)式中Φ-为n×n维非奇异状态--步转移矩阵；F-是n×力维系统过程噪声输人矩阵；H是m×n维观测矩阵；W，为力维系统随机过程噪声序列；V为m维系统随机观测噪声序列。对于随机线性定常系统，式（2.18)可以进一步写成X=@X-1+IW-1(2.19a)Z= HX+ Ve(2.19b)关于随机线性离散系统噪声的假设与性质如下：（1）系统的过程噪声序列W，和观测噪声序列V。为零均值或非零均值的白噪声或高斯白噪声随机过程向量序列，即E[W,]=0或E[W,]=μw](2.20)F[W,W]] = QOyE[V] =0 或 F[V] =μv](2.21)E[VV]] = ROw式中Q是系统的过程噪声向量序列W的方差阵，为对称非负定矩阵；R是系统的观测噪声向量序列V的方差阵，为对称正定矩阵；是克罗尼克（Kronecker）函数，其定义为fokj =[1 =j（2）系统的过程噪声序列W，和观测噪声序列V是不相关或相关，即E[W,VT1 = 0(2.22)或E[WVI = StOk(2.23)式中S是W和V的协方差阵。（3）系统的初始状态X。是某种已知分布或正态分布的随机向量，其均值向量
第2章随机线性系统Kalman滤波基本方程:13和方差阵分别为E[xo] - μx。(2.24)E[XaxIl = Po（4）系统的过程噪声向量序列W和观测噪声向量序列V，都与初始状态Xo不相关，即E[X,wI] = 0](2.25)E[X.VI] = 0 ]2.1.4随机线性连续系统的离散化将随机线性连续系统的状态方程离散化可得到随机线性离散系统的状态方程，对于式（2.8）所小的随机线性连续系统，重写如下X(2) = A(t)X(t) / B(t)U(t)+F(t)W(t)(2.26a)Z(t) = H(t)X(t) + D(t)U(t)+ V(t)(2.26b)初始状态为X（1）=Xa式(2.26a)状态方程的解为X(0) = Q(t,to)X(to) +f @(t,t)B(t)u(t)dt + /[@(t,r)F(t)W(T)dt(2.27)式中@(t,to)是系统状态方程的n×n维状态转移矩阵，它是下列矩阵方程的解(t,to) = A(t)@(t,to))(2.28)@(to,t0) = I,其中Φ（t，to)还具备如下的性质@(t,t)Φ(T,tu) = (t,to)(2.29)[Φ(t,t)]-1 = Φ(t,t)由于系统初始状态X(to）=X。是随机向量，系统过程噪声W(t)和观测噪声V（t)是向量随机过程，故系统的状态向也将是--个向量随机过程。假定等时间间隔采样，采样间隔记为△t=t#+1-（k=0.1,2，）为常值。在采样时刻t<t<t+1（k=0,1,2，）,从t到+1,可得下式**le(t+1,t)B(t)U(t)dtX(t+1) =-Φ(t++1,t)X(++) +@(t+,)F()W(t)dt(2.30)在采样间隔t与t+之间，认为U）和W(）保持常值，设为U(）和W(t）
Kalnan滤波理论及其在导航系统中的应用根据式(2.30)可得[""d(t,)B(t)dtjU(te)X(t$+1) =@(++1,t)X(tt) +*o(t+1,t)F(r)dW(t)(2.31)如令I""(++t)B(t)dr = G(t++),[""@(t+,T)F(t)dt = F(t++It)(2.32)其中G（t+1,t）为n×维矩阵，F（t+1，t）为n×p维矩阵，则可得方程(2.26a)的差分方程X(t$+1) = Q(t$+i,t#)X(t+) + G(t#+1,te)U(tt) +F(t++1,t)W(tt)(2.33a)如W（t）为p维白噪声向量，则W（t）为p维白噪声向量序列。与式(2.26b)的观测方程对应的离散观测方程为Z(t++1) = H(t+)X(t+I) + V(tn)(2.33b)如令Xe+I ≤x(t+1)，X≤X(t)，W,三W(t)，V≤V(t),2Z(t),+1., ≤(++)。 I+., f"d(t+,t)F(t)dt,**@(t++It)B(t)drGt+1.kt则差分方程（2.33a）和离散观测方程（2.33b）可简写成X+1=@+.X+G+l.U+F+i.W(2.34a)Z+=H+Xe+V(2.34b)式中W,和V都是零均值的白噪声序列，W，和V互.相独立，在采样间隔内W和V都为常值，其统计特性如下E[W.] = E[V] = 0E[WW]] = QOw(2.35)E[VVT] - ROnE[W,V-0式中，o是Kronecker-函数。下面讨论Q、R与Q（t）)、R(t)的关系。比较式(2.30)和式(2.33a)可得
1一0780267方程第2章F15'@(th/1,tr)F(t)W(t)dt = F(t+1,te)W(t)一所以有一"@(t++,t)F(t)W(t)dt!*l(t+1,t')F(t')W(t)dt- FI[F(t+1,t)W(t)P(t#+1, x)W(t))T!(2.36)式(2.36)的左边为F(t+t)F(t)E[W(t)W()F(t)@T(t+t')drdr["*"@(t+,t)F(t)Q(t)a(t - t)FT(t)@T(t,t)drdt"[t"d(t*+,t)F(+)Q(t)FT(t)QT(t++),t)dt式(2.36)的右边为I(Ih+++t)E[W(t)WT(t))rT(t$++t) = r(t/,t)Qrr(t++I,t)则Q与Q（）满足下列关系式I(t-1t)QrT(tHt) = F@(t+,T)F(t)Q(t)(t)@T(t+,t)d?(2.37)当#+1~+0时，由式（2.32)得F(th+1.t)=[I + A(t)At t...JAtF(t)(t<t <t$+1)则式(2.37)的左边为F(t+1)QT(++It)- [I A()At 1 ..]F(t)QFT(t)[I +AT(t)At +..-jAt? F(0)Q:FT(t)△t3式(2.37)的右边为["*(+T)F(t)Q(t)FT(t)@(+,t)dt=[I + A(t)At +.-]F(t)Q(t)FT(+)[I + AT(t)At + .]z~F()Q(t)FT(t)At综合上述两式，可得Q+ At? = Q(t)At所以Q- Q(L)(2.38)At当△-0时
: 16 :Kalman滤波理论及其在导航系统中的应用linQ= co就是说，在△t-*0的极限条件下，离散噪声序列W，趋向于持续时间为零，幅值为无穷大的脉冲序列，而“脉冲”自相关函数与横轴所围的面积Q·△t等于连续白噪声脉冲自相关函数与横轴所围的面积Q（t)。同样，我们令Re= R()(2.39)At当△t-0时，lim R = 00就是说，在△t-→0的极限条件下，离散噪声序列V趋向于持续时间为零，幅值为无穷大的脉冲序列。而“脉冲”自相关函数与横轴所围的面积R·△t等于连续白噪声脉冲自相关函数与横轴所围的面积R（t)。由此可见，随机线性连续系统是随机线性离散系统衣采样周期T=△t-时的极限情况。显然，下列关系式@(t +△t,t) = I + A()-Ar +o(△t2)F(t + At,t) = F(t) : △t + o(At)(2.40)Q= Q(t)/△(R = R(t)/△t将随机线性连续系统和随机线性离散系统联系起来了。2.2随机线性离散系统的Kalnan滤波方程在推导随机线性离散系统的Kaiman滤波方程之前，先介绍一些预备知识：线性最小方差估计和正交投影。2.2.1预备知识一-1.线性最小方差估计1所谓线性最小方差估计，就是在已知被估计量X和观测量么的-一、二阶短，即1均值E[X]、E[z],方差varl]、varl]和协方差cov[X，z]的情况下，假定所求1的估计量是观测量的线性函数，以估计误差方差矩阵达到最小作为最优估计的性1能指标（损失函数）的估计方法。1我们假定估计×是观测量Z的线性函数，即设1X(Z) = α + BZ(2.41)1-