第1章绪论Kalman滤波基本方程及推导随机线性离散系统的最优预测与-滑等第3章为Kalman滤波稳定性及误差分析，主要介绍稳定性的概念、随机线性系统的可控性与可观测性、滤波稳定性的判别及滤波误差分析等内容。第二部分为实用Kalman滤波技术，主岁介绍实际应用过程中对Kalman基本滤波方程的改进：其中第4章介绍噪声不满足假设条件下的滤波Kalman滤波发散的抑制、非线性系统扩展Kalman滤波及自适应滤波等，第5章针对Kalman滤波的计算发散.介绍各种分解滤波方法。第6章针对滤波系统存在的不确定性、介绍鲁棒滤波理论，包括H”滤波理论和鲁棒最小方差滤波：第一部分为Kalman滤波技术的新应用，其中第7章介绍Kalnan滤波在信息融合技术的应用，第8章介绍Kalman滤波技术在神经网络训练中的应用。本书穿插有适量的例题和思考题，例题和思考题紧紧围绕Kalman滤波在导航领域各方面的应用来设置，力求既能使读者全面、系统地了解、掌握Kalman滤波基本理论，义能为Kalman滤波理论在导航领域的应用提供设计理论和方法上的参考，也为Kalnan滤波理论在其他相关领域的应用提供设计方法上的借鉴和参考
第2章随机线性系统Kalman滤波基本方程Kalman滤波是内R.E.Kalman于1960年首次提出的，它是一种线性最小方差估计，算法具有逆推性，使用状态空间方法在时域内设计滤波器，适于对多维随机过程（平稳的、非平稳的）进行估计，具有连续和离散两类算法，便于在计算机上实现。随着计算机技术的飞速发展，Kaltnan滤波理论作为·一种最重要的估计理论被广泛应用于各个领域，组合导航系统的设计足其应用较成功的-一个方面。本章首先给山随机线性系统的数学模型，然后详细推导随机线性离散系统的Kaiman滤波基本方程，并给出随机线性连续系统的Kalman滤波基本方程及随机线性离散系统的最优预测和平滑方程。2.1随机线性系统的数学模型在给出随机线性系统的数学模型之前，先简要介绍自噪声和有色噪声的概念。2.1.1白噪声和有色噪声若随机过程（1)满足[F[()]- 0(2.1)IE[(t)T()] = (t -t)则称（t)为由噪声过程，式中g称为（）的方差强度。式（2.1)的第二式即为（t）的白相关函数，即R..(t - r) = qd(t - t)(2.2)从式（2.2)可以看出，（t)的自相关函数与时间间隔μ（u=t一）有关，而与时间点t无关，所以0（）是平稳过程式（2.2)还说明，无论时间t和靠得多么近，只要t≠t，（t）与w（）总不相关，两者没有任何依赖关系，这一特性在时间过程的体现是信号做直上真下的跳变。式（2.2)可进一步写成Ru(μ) = qo(μ)因此w(t)的功率谱为
第2章随机线性系统Kalman滤波基本方程:9.qo(μ)e-jad(2.3)Su(α) =式(2.3)说明，白噪声w(t)的功率谱在整个频率区间内都为常值9，这与白色光的频谱分布在整个频率范围内的现象是类似的，所以（t）被称为白噪声过程，且功率谱与方差强度相等。荐随机序列W，满足[EW=0(2.4)[E[W,WI] = QOx则W，称为凹噪声序列，在时间上，白噪声序列是出现在离散时间点上的杂乱无章的上下跳动。凡是不满足式（2.1）的噪声过程都称为有色噪声过程。有色噪声的功率谱随频率而变，这与有色光的光谱分布在某一频段内的现象是类似的，“有色”一词也因此面得名。有色噪声可看作某一线性系统在白噪声驱动下的响应。对有色噪声建模就是确定出这一线性系统：常用的建模方法-般有两种：相关函数法和时间序列分析法。相关函数法也称为成型滤波器法。设有一单位白噪声过程（功率谱密度为1)w（t），输人到传递函数为@（s）的线性系统中。根据线性系统理论，对应的输出信号Y(t）功率谱密度为Sx(w)= /@(ja)|2.1=@(jw)@(-ja)(2.5)因此，如果有色噪声Y(t)的功率谱密度可写成@(jw）@（-j)的形式,则Y(t)可看作传递函数为@(s）的线性系统对单位强度白噪声w(t）的响应，即Yt）可以用ze(t)来表示，这就实现了对有色噪声Y(t）的白化。重（s）是实现白化的关键，被称为成型滤波器。对随机过程做建模处理时，一般都假设其满足各态历经性，即用在一个样本时间过程中采集到的数据计算相关函数，再由相关函数求出功率谱，然后由功率谱求出成型滤波器，所以这种方法称为相关函数法。时间序列分析法把平稳的有色噪声序列看作是各时刻相关的序列和各时刻出现的白噪声所组成，即时刻的有色噪声Y为Y$Yk-I +2Yk-2+..+pYk-p(2.6)+W-01Wz-1 - 02Wk-2-... - 0gWk-g式中，中<1(i=1,2,"，p)为自回归参数；9,<1（i=1,2，，g)为滑动平均参数；1W1为白噪声序列。上述表示有色噪声的递推方程称为（p，9）阶的自回归滑动平均模型ARMA（p,q）。相应于模型中Φ=0（i=1,2，，p)和;=0（i=1,2，"，g），模型式（2.6)可分别简化为自回归模型AR（p）和滑动和模型MA（g）
Kalman滤波理论及其在导航系统中的应用:10-对于有色噪声，建模的任务是确定模型中的各项参数值（Φ，.)和白噪声序列1W，的方差值。建模过程一般分成两步，首先利用噪声的相关函数和功率谱密度特性确定出模型的形式（ARMA（p，9），AR（p），MA（g））：然后利用参数估计的方法估计出模型中的各参数值。由于实际的有色噪声模型中力和的阶数一般都不大于2，因此也可以直接从简单的模型开始拟合，然后根据拟合后残差的大小确定最后的模型。模型确定后，还须根据滤波的要求，将模型方程改写成一阶差分方程组或一阶微分方程组。在掌握白噪声和有色噪声概念的基础上，我们就可以建立随机线性系统的数学模型。首先得出随机线性连续系统的数学模型，再对其离散化得到随机线性离散系统的数学模型。2.1.2随机线性连续系统的数学模型一个连续时间系统，同时具有确定性输入和随机噪声时，其动态过程一般可用下列的状态方程和观测方程描述为X(t) = f[X(t),U(t),W(t),t)(2.7a)Z(t) = h[X(t),U(t),V(t),t)(2.7b)式中，X（t）为系统n维状态向量，z(t）为系统m维观测向量，f和h分别为已知的线性或非线性n维和m维向量函数，U(t）为r维控制向量，W(t）为b维系统随机过程噪声向量，V（t）为m维系统随机观测噪声向量，系统的初始状态X（to）=X。是一个具有确定概率分布的n维随机向量。茗式(2.7)中问量函数f和h对于X（t）、U(t）、W（t)及V(t)都是线性的，则有线性的系统状态方程和观测方程如下X(t) = A(t)X(t) + B(t)U(t) + F(t)W(t)(2.8a)Z(t) = H(t)X(t) + D(t)U(t)+ V(t)(2.8b)式中，A(t)是n×n维矩阵,B(t）是n×r维矩阵,D(t)是m×r维矩阵，H(t）是m×m维矩阵，F（t）是n×p维随时间连续变化的矩阵。如果A（t)、B(t)、D(t）、H(t)和F(t)都是与时间无关的常值矩阵，且W(t)与V（t）都是平稳随机过程，则式（2.8）可写成如下的随机线性定常系统数学模型X(t) = AX(t) + BU(t) + FW(t)(2.9a)Z(t) = HX(t) + DU(t) + V(t)(2.9b)在研究和分析随机线性系统的状态估计时，可以暂时不考虑系统的确定性输人，即认为B(t)=0,D（t)=0,则式(2.8)和式(2.9)可分别写成X(t) = A(t)X(t) + F(t)W(t)(2.10a)
第2章随机线性系统Kalimuan滤波基本方程11Z(t) = H(t)X(t) + V(t)(2.10b)和X(t) = AX(z) + FW(t)(2.11a)Z(t) = HX(t) + V(t)(2.11b)关于随机线性连续系统噪声的假设与性质如下：（1）系统的过程噪声向量W(t）和观测噪声向量V（t）为零均值或非零均值的白噪声或高斯白噪声随机过程向量，即E[W(t)l= 0 或 E[W(t)] μw)(2.12)E[W(t)WT(t)) = Q(t)8(t - t)E[V(t)J = 0或E[V(t)] = μv](2.13)E(V(t)VT(t)) - R(t)8(t - t)式中Q（t)是系统的过程噪声向量W(t)的方差强度阵，为对称非负定矩阵；R（t）是系统的观测噪声向量V(t）的方差强度阵，为对称正定矩阵；（t-t）是狄拉克（Dirac）函数，它满足1.0t+t(t --)t=8()d - 1（2）系统的过程噪声向量W(t）和观测噪声向量V（t）不相关或相关，即E[W(t)VT(-)) - 0(2.14)或EEW(t)VT(t)l = S(t)8(t - t)(2.15)式中S(I）是W(t）和V(t）的协方差强度阵。（3）系统的初始状态X（to）是某种已知分布或正态分布的随机向量，其均值向量和方差阵分别为E[X(to)] = Xo(2.16)E[x(tu)xT(to)) = P.)（4）系统的过程噪声向量W(t)和观测噪声向量V(t)都与初始状态X（to）不相关，即E[X(to)WT(t)1 = 0)(2.17)E[X(tu)VT(t)l = 0系统的过程噪声和观测噪声与系统的初始状态不相关的假设在多数情况下是有实际意义的。首先，因为观测设备属于系统的外围设备，它的观测误差不应与系统的初始状态有关；其次系统的过程噪声与系统初始状态往往也是无关的，例如对