第2章随机线性系统Kalman滤波基本方程17式中，α为与X同维的非随机向量；B为行数，等于被估计量X的维数，列数等于观测向量维数的非随机矩阵，记×=X-X(Z),则选择向量α和矩阵B，使得下列平均二次性能指标J(X)=TrE[(X-α-BZ)(X-a-BZ)T)(2.42)= E[(X - α- BZ)T(X - α - BZ))达到极小，则此时得到的X的最优估计就称为线性最小方差估计，并记为XuMv(Z)。如果把使J（x）达到极小的α和B记为α，和Br，则有XLMv(Z) = aL + B,Z(2.43)因此，只要求得a，和B,，我们就可以由式(2.43)得到X1M(Z)。为了求得a和B，我们将了（X）对于α,和B,求导。由于了（X）是向量Q和矩阵B的标量函数，考虑到微分运算和期望运算是可交换的，可以得到下面的结果E[(X - α - BZ)(X - α - BZ)]u=F[[(X - α ~ BZ)(X - α- BZ)]](2.44)=- 2E[(X - α- BZ))=2]α +BE[Z] -E[X]]%E(X-α - Bz)(×-α ~ B2)=E[[(X - α - BZ)T(X - α - BZ)]]LaR(2.45)=E[%(T(X -α - B2)X×-α - BZ)]=-2E[(X -α - BZ)ZT)-2aE[Z]] + BE[ZZ]]- E[XZT]]令上面两式等于零，即可求得α，和B。令式（2.44）等于零，得a = E[X] - B,E[z](2.46)将式（2.46)代人式（2.45），并令式（2.45)等于零，可得B,E[ZZT]-E[Z]E[ZT]I-E[XZT]-E[X]E[ZT]=0邸Br var[z] -- cov(X,Z) = 0
:18.Kaiman滤波理论及其在导航系统中的应用所以B = cov[X,z](var[z)) I(2.47)将式（2.47)代人式（2.46）得a, = E[X] -- cov[X,z](var[z])-iE[z](2.48)将式(2.47)和式(2.48)代人式(2.43)得XuMv(Z) = E[X] + cov[X,Z](var[Z])-1(Z - E[Z])(2.49)式（2.49）就是由观测值Z求X的线性最小方差估计的表达式。线性最小方差估计XLMV(Z)具有如下性质：（1）线性最小方差估计XLMv(Z)是无偏估计，即E[XMV(Z) = E[X](2.50)（2）估计误差的方差阵为var[X LMv(Z)J = E[(X - XIMv(Z))(X - XiMV(Z))")=E[(X -E[x] - cov[X,Z](var[z])-I(Z -E[z]))· (X - E[X] - cov[X,Z](var[Z])-'(Z - E[Z]))T]=var[] - cov[ X,z](var[z])- cov[z,X](2.51)（3）任何一种线性估计的误差方差阵都将大于等于线性最小方差估计的误差方差矩阵。设X的任一线性估计可表示为X,=α+BZ，则此估计的误差方差矩阵为E[X,XT)=E[(X-α-BZ)(X-α-BZ)T]如果令6=a-E[X]+BE[Z]则可得E[X,XT] =EI[X-E[X] -b-B(Z-E[2])].[(X -E[X] -b - B(Z - E[ZJ)]T)=var[X] + b6T + Bvar z]BT- cov[X,Z]BT - Bcov[Z,X]= b6 T + (B - cov[X,Z](var[Z])-1)var[Z][B - cov[X,Z](var[ Z])-1 jT+ (var[X] - cov[X,z](var[z])-1cov[Z, X])(2.52)显然任-一线性估计的误差方差矩阵与α和B的选择有关。由于式（2.52）右边的第一项和第二项都是非负定的，因此
第2章随机线性系统Kalnian滤波基本方程E[X,X T)- E[(X-α- BZ)(X-α- BZ)T)(2.53)≥ var[x] - cov[X,z](var[z])-'cov[z,X]上式说明，任何一种线性估计的误差方差矩阵都将大于等于线性最小方差估计的误差方差矩阵。出此可见，线性最小方差估计×LMV(Z）具有最小的方差矩阵。（4）随机向量[X-×LMV（Z)]与Z正交。由E[X-XLMV(Z)]=0可得E[(X -- XLMV(Z))ZT)=(0v[(X - XiMV(2)),2]=E[(X -- XLMV(Z))(Z - E[ZI)T]=E[x - E[] - cov[X,z](var[Z])-i(Z - F[z])](z - E[z])T]= cov[X,z] - cov[ X,z](var[z])-1var[z] = 0(2.54)由式(2.54)可知，随机向量[XXLMv(Z)与Z不相关，其几何意义就是随机向量[X-XLMVZ)]与2正交。随机向量X本来不与Z正交，但是从X中减去一个由Z的线性函数所构成的随机向量XMV（Z)之后，就与Z正交了。也可以说，XLMV(Z)是X在Z上的正交投影，并记为XLMv(Z）=E[X/Z]。从儿何角度，把线性最小方差估计XMV（Z）看作是被估计向量X在观测向量（空间）上的正交投影，我们在以后讨论Kalmnan滤波基本方程时将利用这一结论。2.正交投影正交投影定义：设X和Z分别为具有二阶矩的n维和m维随机向量，如果存在一个与X同维的随机向量X,满足下列三个条件（1）X可以由Z线性表示，即存在非随机的n维向量a和n×m矩阵B，使得X =α+ BZ（2）无偏性，即EX=FX。(3)X-X与Z正交,即E[(X-X)ZI}=0则称×是X在Z上的正交投影，记为×=E[X/Z],此处均值“E”表示投影的意思。从线性最小方差估计的讨论可知，基于观测量Z的X的线性最小方差估计×
Kalman滤波理论及其在导航系统中的应用.20.恰好是X在Z上的正交投影。下面不加证明地给出关于向量正交投影的结论：结论1设×和2为具有二阶矩的随机向量则×在2上的正交投影惟一地等于基丁Z的线性最小方差估计，即E[X/z] = Ex + cov[X,z](varz)-'[z - Ez](2.55)结论2设X和Z为具有二阶矩的随机向量，A为非随机矩阵，其列数等于X的维数,则E[AX/Z] = AF[X/Z](2.56)结论3设X、Y和Z为具有二阶矩的随机问量，A和B为具有相应维数的非随机矩阵，则行E((AX + BY)/Z] = AE[X/Z]+ BF[Y/Z](2.57)结论4设X、Z和22为三个具有二阶矩的随机向量，且2，则有E[X/Z]= E[X/Z,] + F[X /Z2](2.58)= E[X/Z]+ E[X ZT[F[Z,Z]]-z?式中X = X-E[X/Z], 22= Z2 -E[Z2/Z](2.59)2.2.2随机线性离散系统的Kalman滤波基本方程设随机线性离散系统的方程（先不考虑控制作用）为X=IX-1+FkW1(2.60a)Z=HX+V(2.60b)式中X是系统的n维状态向量，Z是系统的m维观测序列，W是p维系统过程噪声序列，V是m维观测噪声序列，@tk是系统的n×n维状态转移矩阵，Fk-1是n×p维噪声输人矩阵，H是m×n维观测矩阵。关于系统过程噪声和观测噪声的统计特性，我们假定如下[E[W] = 0, E[WW]] = QOnE[V,]=0，E[VVT] = ROk(2.61)[E[W,V]] = 0其中Q是系统过程噪声W，的p×p维对称非负定方差矩阵，R是系统观测噪声V，的mXm维对称正定方差阵，而是Kronecker-数。下面直接给出随机线性离散系统基本Kalman滤波方程
第2章：随机线性系统Kalman滤波基本方程-21.如果被估计状态X，和对X的观测量Z，满足式（2.60)的约束，系统过程噪声W，和观测噪店V，满足式（2.61）的假设，系统过程噪声方差阵Q，非负定，系统观测噪声方差阵R，正定，k时刻的观测为，则X的估计X可按下述方程求解：状态一步预测X.,k-1 = D..-1X.-(2.62a)状态估计X=X.k-i+iz-HX](2.62b)滤波增益矩阵Ke=Pk.kIHTHPk.k-IHI+R1-1(2.62c)一步预测误差方差阵Pkk1=e,k-Pki@tk-+Fk,kiQk-rt,k-1(2.62d)估计误差方差阵P.=［IKHiPe..-[I-KHT+KRK!(2.62e)其中，式（2.62c）可以进-步与成K = PHR,I(2.62c1)式（2.62e）可以进一步写成P, = [I - KH.]Pk.-1(2.62el)或P=PIFHIRH(2.62e2)式(2.62)即为随机线性离散系统Kalman滤波基本方程。只要给定初值×。和Pa，根据表时刻的观测值Z，就可以递推计算得k时刻的状态估计X（k=1，2,..).在一个滤波周期内，从Kalman滤波在使用系统信息和观测信息的先后次序来看，Kalrnan滤波具有两个明显的信息更新过程：时间更新过程和观测更新过程。式(2.62a)说明了根据k一1时刻的状态估计预测k时刻状态的方法，式（2.62d）对这种预测的质量优劣做了定量描述。该两式的计算中仅使用了与系统的动态特性有关的信息，如状态一步转移矩阵、噪声输入阵、过程噪声方差阵。从时间的推移过程来看，该两式将时间从表一1时刻推进至时刻，描述了Kalnan滤波的时间更新过程。式（2.62)的其余诸式用来计算对时间更新值的修正量，该修正量由时间更新的质量优劣（Ps，-1）、观测信息的质量优劣（R）、观测与状态的关系（H）以及具体的观测信息乙所确定，所有这些方程围绕一个日的，即正确、合理地利用观测Z，所以这一过程描述广Kalman滤波的观测更新过程