Kalnman滤波理论及H在导航系统中的应用.2是时城内的量，所以不但可以对平稳的维的随机过程进行估计，也可以对非平稳的，多维随机过程进行估，这就完全避免广weer滤波在频域内设计时遇到的限制，适用范围比较广泛。实际上，Kalman滤波是一套由计算机实现的实时递推算法，它所处理的对象是随机信，利用系统噪声和观测噪声的统计特性，以系统的观测量作为滤波器的输入，以所要估计值（系统的状态或参数）作为滤波器的输出，滤波器的输入与输出之间是由时间更新和观测更新算法联系在·起的，根据系统方程利观测方程估计出所有需要处理的信号。所以，此处所谈的Kalman滤波与常规波的涵义与方法完全不同，实质上是种最优估计方法。下面对Kaiman滤波理论的基础理论一估计理论加以阐述。1.2Kalman滤波理论基础在工程系统随机控制和信息处理问题中，通常所得到的观测信号中不仪包含所需信号，而且还包含有随机观测噪声和干扰信号。通过对--系列带有观测噪声和干扰信号的实际观测数据的处理，从中得到所需要的各种参量的估计值，这就是估计问题。在程实践中，经常遇到的估计问题有两类：（1）系统的结构参数部分或全部未知、有待确定。（2）实施最优控制需要随时了解系统的状态，而由于种种限制，系统中的一部分或全部状态变量不能直接测得。这就形成了估计的两类问题一一参数估计和状态估计一般估计问题都是由估计验前信息、估计约束条件和估计准则三部分构成。若设（I）X为"维未知状态或参数，X为其估计值，（2）z为与X有关的m维观测向量，它与X的关系可表示为z = f(X, V)(1.1)（3）V为m维观测噪声，它的统计规律部分或全部已知；则一般地，估计问题可叙述为：给定观测向量Z和观测噪声向量V的全部或部分统计规律，根据选定的准则和约束条件（1.1），确定一个函数H（Z），使得它成为（在选定准则下）的最优估计，即X = H(Z)(1.2)为了衡量估计的好坏，必须要有一个估计准则。在应用中，我们总是希望估计出来的参数或状态越接近实际值越好，即得到状态或参数的最优估计。很显然，估计准则可能是各式各样的，最优估计不是惟一的，它随着准则不同而不同。因此在估计时，要恰当选择衡量估计的准则
第1章绪论*3*如前所述，估认准则以某种方式度量了估计的精确性，它体现了估计是否最优的含义。准则应该用函数来表达，估计中称这个函数为指标函数或损失函数。般米说，损失函数是根据验前信息选定的，而估计式是通过损失函数的极小化或极大化导出的：不同的损失函数，导致不同的估计方法。原则上，任何具有一定性质的函数都可用作损失函数，然而，从估理论的应用实践着，可行的损失函数只有少数儿种。自前估计中常用的二类准则是直接误差准则，误差函数矩准则和直接概率准则，直接误差准则，是指以某种形式的误差（比如估计误差XX-X或对Z的拟合误差么一%-2，2是X的函数）为白变量的函数作为损失函数的准则。在这类准则中，损失函数是误差的凸函数，估计式是通过损失函数的极小化导出的，而与观测噪声的统计特性无关。因此，这类准则特别适用于观测噪声统计规律未知的情况，最小二乘估计及其各种推广产形式都是以误差的平方和最小作为估计准则。误差函数矩准则，是以直接误差函数矩作为损失函数的准则。特别地，我们可把损失函数X选作直接误差函数，以其均值为零和方差最小为准则。在这类准则中，要求观测噪声的有关矩是己知的，显然它比直接误差准则要求史多的信息，因而可望具有更高的精度。最小方差估计、线性最小方差估计等都是属于这类准则的估计。直接概率准则，这类准则的损失俩数是以某种形式误差的概率密度函数构成，有时也用摘函数构成。估计式出损失函数的极值条件导山。由于这类准则与概率密度有关，这就要求有关的概率密度函数存在，而且要知道它的形式。另外，除少数情况外，在这类准则下，估计的导出比较困难，因此，这类准则的应用是极有限的。极大似然估计和极大验后估计就是这类准则的直接应用。选取不同的估计准则，就有不同的估计方法，估计方法与估计准则是紧密相关的。相应于上述三类估计准则，常用的估计方法有最小二乘估计、线性最小力差估计、最小方差估计、极大似然估计及极大验后估计。几种常见估计方法的比较见附录C在估计问题中，常考虑如下随机线性离散系统模型X=pk.k-iXe.1+Iz.k-Wk-1Vk≥0(1.3a)Z=HX+VVk0(1.3b)式中X是系统的n维状态向量，Z是系统的m维观测向量，W是系统的p维随机于扰向量，V是系统的m维观测噪声向，Pkk-1是系统的nXn维状态转移矩阵，k，-1是n×p维干扰输人矩阵，H是m×n维观测矩阵。在以后的讨论中，省略条件Vk0
Kaiian滤波理论及其在导航系统中的应用：4:根据状态向量和观测向量在时间上存在的不同对应关系，我们可以把估计问题分为滤波、预测和平滑，以式（1.3）所描述的随机线性离散系统为例，设X表示根据，时刻和，以前时刻的观测值，对时刻状态X，做出的某种估计，则按照和；的不同对应关系，分别叙述如下：（1）当k=时，对文，，的估计称为滤波，即依据过去直至现在的观测量来估计现在的状态，相应地，称文，为X，的最优滤波估计值，简记为x。这类估计主要用于随机系统的实时控制，（2）当>时，对文，的估计称为预测或外推，即依据过去直至现在的观测量来预测未来的状态，并把文.称为X，的最优预测估计值。这类估计主要用于对系统未来状态的预测和实时控制。（3）当<，时，对文，的估计称为平滑或内插，即依据过去直至现在的观测量去估计过去的历史状态，并称文，，为X的最优平滑估计值。这类估计泛应用于通过分析实验或试验数据，对系统进行评估。若把X换成X，X，换成X（t，t)，则上述分类对于连续时间系统同样适用。换句话说，线性系统的状态估计都可分成以上三类。在预测、滤波和平滑三类状态估计问题中，预测是滤波的基础，滤波是平滑的基础。我们将主要讨论滤波问题。1.3Kalman滤波理论的发展及应用我们知道，估计的准则不同，会导致不同的估计方法；同样，利用观测序列和观测信号的方式不同，也会导致不同的估计方法。由于这两个方面的原因，滤波估计经历了最小二乘法，Wiener滤波和Kalman滤波的发展而不断地完善。最早的估计方法是高斯（K.F.Gauss）于1795年在他的《天体运动理论》一书中提出的最小二乘法。最小二乘法没有考虑到被估参数和观测数据的统计特性，因此这种方法不是最优估计方法。由于最小二乘法在计算上比较简单，使得它成为一种应用最广泛的估计方法。1912年费舍尔（R.A.Fisher）提出了极大似然估计方法，从概率密度出发来考患估计间题，对估计理论做出了重大贡献。对于随机过程的估计，到20世纪30年代才积极开展起来。1940年，控制论的创始人之一美国学者N.Wiener根据火力控制上的需要提出一种在频域中设计统计最优滤波器的方法，该方法被称为Wiener滤波。同一-时期，前苏联学者科尔莫郭洛大（A.HKOILMOTOJIOB)提出并初次解决『离散平稳随机序列的预测和外推问题。Wiener滤波和科尔莫郭洛夫滤波方法开创了一个应用统计估计方
第1章绪论5法研究随机控制问题的新领域。由于Wicner滤波采用频域设计法，运算复杂，解析求解困难，整批数据处理要求存储空间天，造成其适用范围极其有限，仅适用于一维平稳随机过程信号滤波。Wiener滤波的缺陷促使人们寻求时域内直接设计最优滤波器的新方法，其中美国学者R.E.Kalman的研究最具有代表性。1960年，R.E.Kalman提出了离散系统Kalman滤波；次年，他又与布西（R.SBucy）合作，把这一滤波方法推广到连续时间系统中去21，从而形成Kairman滤波估计理论。这种滤波方法采用了与Wiener滤波相同的估计准则，二者的基本原理是·致的。但是，Kalman滤波是一种时域滤波方法，采用状态空间方法描述系统，算法采用递推形式，数据存储量小，不仅可以处理平稳随机过程，也可以处理多维和非平稳随机过程。正是由于Kalman滤波具有以上·些其他滤波方法所不具备的优点，Kalman滤波理论一提出，立即应用到实际I程。阿波罗登月计划和C一5A飞机导航系统的设计是早期应用中最成功的实例。随若电子计算机的迅速发展和广泛应用，Kalman滤波在.工程实践中，特别在航空空间技术中迅速得到应用。目前，Kalmar滤波理论作为一种最重要的最优估计理论被广泛应用于各种领域，如惯性导航、制导系统[3~5：，全球定位系统[6,]、月标跟踪[8·10]、通信与信号过程-11-13]、金融[14]、电机[15]。进一步，Kalman滤波理论被用于随机最优控制间题、故障诊断等应用领域，其中组合导航系统的设计是其成功应用的个最主要的方面。R.E.Kaiman最初提山i的滤波基本理论只适用于线性系统，并H要求观测方程也必须是线性的。在此后的.I·多年间，Bucy和Sunahara等人致力于研究Kalman滤波理论在非线性系统和非线性观测下的扩展16~18.，拓宽了Kalman滤波的适用范围。扩展Kaiman滤波（EKF）是一种应用最泛的非线性系统滤波方法：为解决在某些没有有关初始状态信息和先验知识可供来用情况下的滤波，Fraser 提出了信息滤波i19]，这种算法对测量更新比较有效，但时间更新所需的计算虽比较大。Kalman滤波应用范围广泛，设计方法也简单易行，但它必须在计算机上执行。随着微型计算机的普及应用，人们对Kalman滤波的数值稳定性，计算效率、实用性和有效性的要求越来越高，由于计算机的字长有限，使计算中舍人误差和截断误差累积、传递，造成误差方差阵P失去对称正定性，造成数值不稳定[20·22]。在Kalman滤波理论的发展过程中，为改善Kalman滤波算法的数值稳定性，并提高计算效率，人们提出平方根滤波、UD分解滤波、奇值分解滤波等系列数值鲁棒的滤波算法。首先提山平方根滤波思想的Potter23]，该平方根滤波算法经美国阿波罗登月舱的实际应用，证明是很成功的。Bierman，Carison和Schmidt等人对平方根滤波算法的发展贡献极大[24·26°。平方根滤波在轨道确定i27]、飞行状态估计(28]和多传感器跟踪与辨识[29等方面得到了应用。UD分解滤波是Bierman于
Kalman滤波理论及其在导航系统中的应用:6·1975～1977年间提山的-套计算效率高，数值稳定的滤波算法30-321。奇异值分解山于具有较强的数值稳定性和可靠性，在滤波问题中得到应用，真中Oshman对奇异值分解最优滤波的贡献较大133-35]。传统的Kalman滤波是建之在模型精确科随机干扰信号统计特性已知基础上的，对于一个实际系统，往征存在若模型不确定性或（和）了扰信号统计特性不完全已知，这些不确定内素使得传统的Kalrnan滤波算法失去最优性，估计精度大大降低，严重时会引起滤波发散。近些年，人们将鲁棒控制的思想引人到滤波甲来，形成了鲁棒滤波理论36·37，其中较有代表性的是H鲁棒滤波算法[38~40信息融合（DataFusion）是在面向各种复杂应用背景下，多传感器信息系统大量涌现的时代背景下产生的，Kalman滤波在控制领域得到广泛应用以后，也逐渐成为多传感器信息融合系统的主要技术手段之。随着并行计算技术的成熟，在分散化滤波思想的基础上，1988年：Carlson提出了联邦滤波理论-41]（FcderatedFil-tcring），旨在为容错组合导航系统的设计提供理论。联邦Kalman滤波器设计的基本思想是先分散处理、再全局融合，从而获得建立在所有观测基础上的全局估计。Kalman滤波方法是信息融合中进行位置估计的有效方法。月前美国空军已将联邦滤波器确定为新·一代导航系统的通用滤波器：神经网络吸取了生物神经网络的许多优点，它具有高度的并行性、非线性的全局作用，以及良好的容错性与联想记忆功能，并且具有很强的自适应、自学习能力。随着神经网络技术的不断发展，其应用领域在不断拓展，如模式识别与图像处理、控制及优化、金融预测与管理和通信等领域，但足网络权值的调节是一个关键问题，标准的BP算法存在一些缺陷和不足：因此，基干扩展Kalman滤波（EKF）算法形成的利用二阶微分信息的神经网络训练方法142·43]，是-种实际利有效的处理方法，这就使得前馈和反馈神经网络在控制、信号过程和模式识别等问题中得以应用。以上介绍了Kalnan滤波的发展过程及其应用领域，相信随若科技的不断发展进步，其理论将不断完善，应用领域将更加广泛，1.4本书概貌本·书紧密结合Kalman滤波理论在导航、制导与控制领域的应用展开，主要内容分三部分：Kalnati滤波基本理论、实用Kainan滤波技术和Kalman滤波技术的新应用，分8章来具体讨论。第一部分包括3章：第1章为绪论，概括介绍滤波理论的应用背景、滤波理论基础及Kalman滤波理论的发展及其应用。第2章为线性系统Kalman滤波基本方程的介绍，内容包括随机噪声的性质与统计假设、随机线性系统的数学模型