第1章极限与连续 25 右极限 f(xo+0)=lim f(r)=I r→x ←→e>0,36>0,当x0<x<x0+6时，有|f(x)-<E. 3.函数在无穷远处的极限 I1imf(x)=1←→Ve>0,3M=M(e)>0,使得当x>M时，恒有lf(x)-<s; imf(x)=l←→Ve>0,3M=M(e)>0,使得当x<-M时，恒有1f(x)-<: Iimf(x)=l←→Ve>0,3M=M(e)>0,使得当z>M时，恒有1f(x)-<e. 于+ 4.无穷小量 若有ima(x)=0,则称a(x)是当x→xo时的无穷小量.无穷小量即收敛 于零的变量， 有限个无穷小量的和，以及有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。 无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量 5.无穷大量 设函数f(x)在xo的某个去心邻域有定义.若对M>0,了6>0，使得 当0<x-o<6时，有f(x)川>M,则称当x→x0时，f(x)为无穷大量，记为 limf(x)=oo.即 1imf(x)=oo←→M>0,36>0,使得当0<x-xol<时，恒有f(x川>M. r-IO 类似地。 limf(x)=+o∞ rr ←→M>0,36>0,使得当0<z-0<时，恒有f(x)>M, limf(x)=-o∞ ←→VM>0,36>0,使得当0<|x-xol<时，恒有f(z)<-M
26 微积分学习指导 此处x→x0也可换为x→x0,x→x才，x→o,x→+o,x→-o等.如 limf(x)=oo←→廿M>0,3A>0,使得当x>A时，恒有f(x)川>M. 工十 ◇函数极限的性质 1.极限的唯一性 如果函数极限存在，则其极限是唯一的. 2.局部有界性 如果1imf(z)存在，则函数f(x)在xo的某个去心邻域有界，即存在6>0 和M>0,使得当0<z-xol<6时，lf(x)川≤M. 3.局部保序性 设im(x)和Iimg(x)都存在， T-+工0 E→工0 (1)如果在xo的某个去心邻域有f(x)≥g(x),则limf(x)≥1im9(x): (2)如果1imf(x)>limg(x),则在xo的某个去心邻域f(x)>g(x). 特别地，设limf(x)存在，a是一个实数， (1)如果在xo的某个去心邻域中f(x)≥a,则limf(x)≥a (2)如果imf(x)>a,则在xo的某个去心邻域中f(x)>a. 4.四则运算性 设limf(x)和limg(x)存在，则： r4元0 ()i（)±g》=mf)±n9r 工+工0 (2)lim (f(z)g())=lim f(x)lim g(z); 工→x0 工→e0 (3)lim f(z) lim f() 工-◆工0 (limg(x)≠0)： x→x0g(x) limg(x)r→xo r+0 5.线性性质 设imf(x)和limg(x)存在，c1,c2是两常数，则： lim [cIf(z)+c2g()]=cI lim f()+c2 lim g(). E→r0
第1章极限与连续 27 6.函数极限与单侧函数极限的关系 lim f(x)=lf(xo+0)=f(zo-0)=1. 7.函数极限与数列极限的关系（归结原则或海涅(Heine)定理） Iimf(z)=l←→对满足lim In=xo(xn≠xo)的任何数列{xn},都有 lim f(n)=l. 左极限f(xo-0)存在←→对严格单调递增趋于xo的任何数列{x},数列 {f(x)}皆收敛（皆收敛即可保证收敛到同一值；关于右极限有对应结论）. 8.复合函数的极限 设函数f(x)在点xo的某去心邻域内有定义，且极限imf(x)存在， 函数()在点和的某去心邻域内有定义，p()≠0且mp()=0,则 lim f((t))=lim f(z). 1+t 特别地，如果1imf(x)=A>0,limg(x)=B,其中A,B都是实常数，则 limf(x)9)=AB(幂指函数极限). ◇函数极限存在的判别方法 1.利用函数收敛的定义 以-6定义为例，关键如何找到6，一般有两种方法：定义分析法和适当放 大法 (1)定义分析法 通过解不等式，从f(x)-<e中解出x-xo,便可求得(e). (2)适当放大法 有时f(x)一<e比较复杂，不便解出z-ol,可考虑 If(x)-1<g(lx-zol)<E, g(z-xo)要形式简单，易从g(x-o)<e解出x-xo 另外当0<z-x0<61(⊙1是某个正数)时，有f(x)-≤g(z-xo),而从
28 积分学习指导 g(x-xo)<e解出lx-xa<d2,令d=min{61,62},则当0<z-xo<6时，有 |f(x)-<E 2.夹逼定理 设limg(x)=imh(x)=l.若在点xo的某个去心邻域内，总有 r+T g(x)≤f(x)≤h(x): 则函数f(x)在点xo的极限也存在，并且1imf(x)=l, r→正 3.单调有界判别法 单调函数在其定义区间中的每一点处的单侧极限都存在。 4.柯西收敛准则 lim(x)存在→对He>0,36=(e,xo)>0,使得当0<x'-xol<6, 0<x”-xal<6时，恒有f(x)-f(x"川<e 从柯西收敛准则得：∫(x)在点0处发散→3e0>0,对H6>0,有 x',x"∈{x|0<x-xol<6,使|f(x'）-f(x")川≥Eo ◇控制符O、量级区分符0、等价符~简介 约定：假设以下所出现的每个函数都在点xo的去心邻域U°(xo)内有定义， 1.若存在M>0和6>0，使得当0<z-x0<6时，有1f(x川≤Mlg(x)儿 则记 f(x)=O(g(x)(x→xo). 特别地，有f(x)=O(1)(x→xo),表示函数f(x)在点x0局部有界. 2.若x∈U(o)时，g)≠0，mf回=0，则记 r→og(x) f(x)=o(g(x)(x→xo) 如果上式中的f(x)和g(x)都是无穷小量，则称当x→xo时f(x)是比g(x) 更高阶的无穷小量.比如x2=o(5sinx)(x→0)，表示当x→0时，x2是比5sinx 更高阶的无穷小量
第1章极限与连续 29 如果上式中的f(x)和g(x)都是无穷大量，则称当x→xo时g(x)是比f(x) 更高阶的无穷大量.比如9x=o(3z2+1)(x→o∞)，表示当x→00时，3x2+1是 比9x更高阶的无穷大量， f(x)=o(1)(x→xo),表示函数f(x)是当x→o时的无穷小量， 3.若lim f(x) =a卡0，则称当x→x0时f(x)与g(x)是两个同阶变量 r+x0g(x】 特别地，若lim f(x) =1,则称当xxo时f(x)与9(x)是两个等价变量，记为 2+xog(x） f(x)Ng(x)(x→xo) 4.等价替换法 设a(x)~B(x)(x→xo),1是一实数，则极限1ima(x)·f(x)=1成立，当且 仅当极限1imB(x)·f(x)=l成立（允许1=o,+o,或-∞）： 注记1.O,o,~的简单运算性质（下面各式中隐去了自变量“x”与条件 “x→x0”) (1)假设x∈U(xo)时，f(x)≠0，g(x)≠0则有： O(f)+O(f)=O(f),o(f)+o(f)=o(f),o(f+o(f))=o(f), o(f).o(g)=o(fg),O(f)o(g)=o(fg),f.o(g)=o(fg), o(fg)=f.o(g),f.O(g)=O(fg),O(fg)=f.O(g). 其中“=”号表示左边类型的变量均属于右边类型的变量族，即“=”号实际指 “∈”.上面的后四式表示非零变量作为乘积因子，可自由地穿越O与o两记号 (2)a~B且B~Y→a~Y:a~a1且B~月1→a8a16: ③d言一a心B一日-1+a)一a=B+)一B=a+ola, (4)若a与B是两个同阶变量，则o(a)=o(B),O(@)=O(). 2.牢记常用的几个等价无穷小量 当x→0时 ~sinx,~tant,x~arcsin,~arctan,In(1+x),~e-1, r1+2°-1a≠0