20 微积分学习指导 (②设数列以产，d,=品a>1,求极限职d 解(1)因为 lim Cn+1 lim 1+n) →oCm n+∞ 3 3<1, 故由例16(2)的结论，得 nn lim cn=lim =0. n-oc n→o3n.nl 用类似方法，可证得 nn lim =十0∞ n-too 2n.n! →lim 2n.n! nn (2)因为 n+11 lim dn+1 lim noo dn =<1， n-too na a 故由例16(2)的结论，得 lim dn lim =0. n+00 n-oo an 例18设lim an=a, lim on=b,{n1,n2,…,nn}是自然数集{1,2，…，n} n半@g n+00 的一个任意重新排列，n=1,2,…,试证： lim arom:+azona+.+anonm =ab. 71+00 n 证明 由于数列{an}21收敛，所以存在M>0,使lan≤M,n=1,2,…. 因为 An=a1bni+abna十…+anbn 1+a2十+a.b+a16m1-b)+a2b,-)+…+an6m.-创 =9 =Bn+Cn; 故由斯托尔兹定理得 lim Bn=lim a1+a2++an.b=ab. n+
第1章极限与连续 21 又 1Cn≤M.lb,-1+bg-1+…+1b.- n =M.1b1-1+b,-6+…+1bn- n 所以由斯托尔兹定理与夹逼定理得 lim Cn=lim a16:-b)+a20g-)+…+an6m,-b0=0. 1+0∞ n+00 故 lim An lim Bn+lim Cn ab+0=ab, 见→00 得证. 特别地，有 lim aibn +a2on-1+.+an-162+anb1 n+00 =lim ab1+a2b2十+anb=ab. n+ n 例19 设x<1,8n=1+2x+3z2+…+nxn-1,n=1,2,…,求极限s= lim sn- n→00 解解法1在sm的各项中，后项系数减去前项系数恒为1，故可考虑进行 如下计算： (1-x)sn=sn-xsn=1+2x+3x2+…+nzn-1-(x+2x2+…+nx") =(1+x+…+xn-1)-nxn =1-x -nx", 1-x 即 1-tn nxn (1-x)21-x 令n→oo,并注意到1imnx”=0(参见例16(2)，得 s=lim sn lim (1+2x+3x2+...+nz"-1)= n-o + (1-x)21
22 微积分学习指导 解法2（用阿贝尔分部求和法） 令Ak=1+x+…+xk-1= 1-zk 1-x k=1,2,…,则 =n4+空k-依+明=nA三4 n-1 ÷m-n 1 [a1-)-a-0+二] -nzn 1-zn (1-x)千(1-x)2 令n→o,即得 8=im5n=im1+2z+3x2++nx-）=0-p n-oc n-+ 解法3（使用幂级数的逐项求导） 当z<1时 s=lim(1+2x+3x2+…+nxn-1) =1+2x+3x2+4x3+ =(1+x+x2+x3+x4+,)y 解法4（利用绝对收敛级数的交换律、结合律） s=lim(1+2x+3x2+…+nxn-1) =1+2x+3x2+4x3+ =(1+x+x2+…)+(x+x2+x3+…)+(x2+x3+x4+…)+… (先证0≤x<1情形，后再推至lzx<1.)
第1章极限与连续 23 解法5（两绝对收敛级数的乘积满足分配律，故幂级数的乘法与多项式的乘法 类似) 当x<1时 s=lim(1+2x+3x2+…+nxn-1) =1+2x+3x2+4x3+ =(1+x+x2+…)(1+x+x2+…) 1 =1-xP 小结 1.证明数列收敛，有如下方法： (1)利用定义证明、定义分析法和适当放大法； (2)利用夹逼定理 (3)利用单调有界定理； (4)利用柯西收敛准则； (5)利用斯托尔兹定理。 2.利用数列极限的运算法则、夹逼定理、斯托尔兹定理以及已知的一些数 列极限求数列极限.如 1 lim n-too na =0(a>0),1img=0(lgl<1): lim Inn =0,lim元=1， n+o∞ n+0 lim a=1(a>0), lim n+0
24 微积分学习指导 1.3函数极限 知识要点 ◇函数极限的定义 1.函数在一点处的极限 (e-6定义)设函数f(x)在xo的某个去心邻域有定义，1是某给定实数.若对 e>0,36=(e,xo)>0,使得当0<z-xo<6时，有不等式 |f(x)-<e 成立，则称当x→xo时函数f(x)的极限是l,或f(x)收敛于L,或f(x)趋于： 记为 Iimf(x)=l或f(x)→l(x→xo. 也就是 1imf(x)=l←→He>0,36=6(e,xo)>0,使得当0<|x-xo<时，恒有 +工0 |f(x)-<e. 2.函数在一点处的单侧极限 左极限 f(zo-0)=lim f(x)=I →Ve>0,36>0,当x0-6<x<xo时，有1f(x)-l<e