30 微积分学习指导 1 1-cos~ x2; t-sin~ 6 1 tanz-sina (在学习了微分中值原理、洛必达(L'Hospital)法则、泰勒公式之后，上述等 价关系的证明变得更加容易) 3.两个重要极限 = →0 ②-（1+)=(1+)=e 精选例题 例20试用函数极限的e-6定义或e-M定义证明： (1)l1im=0(a>0)月 (2)1imb=0(0≤b<1)片 (3)lim Inz =0; (4)lime=1. 1 r40 这是几个常见的简单极限，往往利用它们去计算或证明其他极限.我们选 证(1) 证法 证法1任给e>0,要使是<E,只要 >即>() 取M=(),则当x>M时，便有 ·0<1 <E. 故由山定义供 =0. 证法2（不用原定义而改用离散变量夹逼连续变量的方法）· 当x≥1时，有 0<1 1
第1章极限与连续 31 令x→+∞，则 →0(a>0),由夹逼定理得lim二=0. 例21求极限lim 2x2+9x+1010 x→十09 3x2+1 分析 这是-个“() ”型极限，其中 表示括号内面戴的极限（而并非 表示常值).对数列情形，已有ima”=0(al<1),故可推测题中极限为0. 解因为 2x2+9x+1010 23 0<lim 3x2+1 3<4 由极限的局部保序性，存在一个足够大的M>0,使得当x>M时 0< 2x2+9x+10103 3x2+1 因而当x>M时 0< 22+e+10)<()≤()内 3x2+1 令x→+00，则 →0，由夹逼定理得 lim 2+10广=0 3x2+1 例22证明下列极限： (1)lim Inz Inzo (o>0); (2）lime2=eo; (3)若1imu(x)=a>0,1imv(r)=b,则有limu(c)=a3. 证明()当云，o>0时，lnx=no+h三，故 To lim Inx=Inzo+lim In=Inzo+limint=Inzo (2) lime2=lim(eo,e-ro）=eo.lim e-o(令t=x-xo) x+工0 王+工0 =ero.limet =ezo.1=eo. t→0
32 微积分学习指导 (3)因为limu(x)=a>0,limv(x)=b,则有 →0 lim Inu(x)=Ina, lim v(x)lnu(x)=blna, 工一中王0 r→rn 故 im u()"()=lim e()()=e=ena r-20 r+0 例23试利用r~z(红→0，证明：tan-simr~号产亿→0， 证明 当x→0时 1-cosx tanx-sin sina =sin· cos a coSa 2sin2 2 =sinx·, 2 COST 例24 求下列极限： sina tan?a (1)lim 42-3)3红 4x+1) (2）lim(cosx)o; (3)lim x+0 \tanc 分析这是三个“1心”未定型极限，联想到第二个重要极限lim 王→00 +)地 是这种类型，可考虑利用该重要极限。 解(1)因为 》”=+)产-+)学品 并且 (+)学-6 -4 i级4红+13x=-3, 故有 lim 4x-3\3 x→（4x+1/ =e-3. (2)因为 (cosx)=1+(cosx-1月g号， 并且 1il1+(cosx-1月a声=e
第1章极限与连续 33 由变量的等价替换得 1 cosx-1 lim lim 1 宝+0 xsina →0 故有 im(cos2x)d=e黄=1 (3)因为 F=(1+ sina-tan tanx tanz 并且 sinx-tan =e: tanz 由变量的等价替换得 sinx-tanx 1 lim lim- 1 1 x-→0 tanx tan2z 故有 sinz 1 lim x→0 tanx =eh= 例25 求下列极限： In(sinz+e3x)-3r (1)lim (2)lim (1+x2)下-c0sx oIn(tanx+e5=)-5 r-→0 sinx2 (3)lim (1+az)-(1+cx) E-→0 2 ④▣品-0 分析 可考虑利用合项法、拆项法、函数的恒等变形、变量的等价替换法来 求解. 解(1) In(sinx+e3r)-3x In(sinz+e3r)-In(e3r) 吗In(tanz+eor)-5a lim oIn(tanz +e5r)-In(e5r) In(sinz.e-3r+1) lim o In(tanz.e-5+1) sinx·e-3r =lim -0tanr.e-5x sina lim =lim-=1. r→0tanx x→0D
34 微积分学习指导 (2) (1+x2)=-cosx lim =lim (1+x2)π-cosx x→0 sinz2 x→0 x2 (1+x2)r-1 =lim +lim 1-cos x+0 T2 x-+0 1 22 0x2 lim- + 2=π+2 (3) (1+ax)b-(1+cz)4 (1+ax)-1 lim (1+cx)4-1 lim x-+0 x→0 x+0 baz dex = lim x+0x x =ab-cd. Ina (④因为当x→+∞时， →0，故 x In =1. ,品-)=，m品e学-)=牌 例26证明或求解下列各题： (1)试证：[1+a1t+o(t)]·1+a2t+o(t)]=[1+(a1+a2)t+o(t(t→0)； (2②)已知t→0时，e=1+t+ot),cost=1-2+o(),求极限 cos2r-e*cosz I-lin 1-coszcos2zcos3 (3)求常数a,使其满足：1-Ⅱ/coska=az2+o(r2)(c→0). k=】 证明(1)所证式左端为三项乘以三项，按分配律应得到九项，但在t→0 时，除1，a1t,a2t这三项之外，余下的六项皆属于o(t)类型的变量，而六个o(t) 类型的变量之和仍为o()类型的变量，故(1)的结论得证 实际上，可将(1)的结论推广为 ΠIl+a,t+o()=1+(a+a2+…+an)t+o(t)(t→0)， =1