第1章极限与连续 5 如将“an-a<e”中的“<e”换为“≤e”,或将“e”换为“ “2e”“e3n “VE”或“n(1+e)”等，也都与原定义等价. 3.增加、减少或改变数列的有限项不影响一个数列的敛散性， 4.{an}不以a为极限（可能收敛但收敛值不等于a)描述为：对实数a, 3eo>0,对VNeN,总存在no>N,满足 ano-a≥eo- 记为amPa(n→∞) 5.如果数列{an}不以任意实数a为极限，即{an}没有极限，此时称{an} 为发散数列，即对a∈R,eo>0,使得对HN∈N,总存在no>N,满足 lamo-a≥e0- 特别地，若对任给的M>O,总存在自然数NM,使得只要n>NM就有|anl>M, 则称数列{an}发散到无穷，或称当n→oo时{a,}是无穷大量，并记lim an=∞ (类似地定义lim an=+o和lim an=-∞). ◇收敛数列的性质 1.有界性 收敛数列{an}一定是有界的，即存在M>O,使得对所有n∈N,成立 lanl≤M. 注记有界性只是数列收敛的必要条件，但不是充分条件，即“有界数列未 必收敛，无界数列一定发散” 2.极限唯一性 收敛数列的极限是唯一的 3.四则运算性 设数列{a}和{b,}都收敛，则有： (1)lim(an±bn)=lim an±lim oni -c
6 微积分学习指导 (2)lim (anbn)=lim an lim bn: n-oc an lim an (3)lim n+ (lim bn≠0). n→xbn lim bn 4.线性性质 若数列{an}与{bn}皆收敛，则an与bn的线性组合也收敛，且 lim (cian+cabn)=cI lim an c2 lim bn, n→0 其中C与c2是两个常数. 5.保序性 设数列{an}和{bn}都收敛 (1)如果当n充分大时am≥bn,则lim an≥lim bn: (②)如果，iman>imbn,则当n充分大时am>bn 特别地： (1)如果当n充分大时am≥0，则lim an≥0： (2)如果iman>0,则当n充分大时a,>0: 月@ (3)如果当n充分大时b≤an≤c,则b≤lim an≤c (4)如果b和c两个实数满足b<ima,<c,则当n充分大时b<an<c 注记这就是数列极限的最终保序性，即如果收敛数列{a}的极限值落入 实数集的某个开区间内，则当n足够大以后，所有a都将落入这个开区间内；另 一方面，如果当充分大时数列{b}的各项全都在实数集的某个闭区间上，则 在{b}收敛的情形下，其极限值也必然落在这个闭区间上. 6.夹逼性 若数列{an}与{bn}满足lan≤bn(n=l,2,…,lim on=0,则{an}也 收敛且lima,=0(这是收敛性判别法之一的夹逼定理的简单情形). 7.子列收敛性 数列{am}收敛于a←→{an}的所有子列皆收敛于a. 注记极限的四则运算性蕴含线性性质，之所以把线性性质从四则运算性中 单列出来，是因为线性性质是基本而重要的，求导运算、（不）定积分运算也都具
第1章极限与连续 7 有线性性质，但它们的线性性质均来自于极限的线性性质。 ◇判别数列收敛的方法 1.利用数列收敛的e-N定义 关键是如何找到N,一般有两种方法：定义分析法和适当放大法. (1)定义分析法 通过解不等式，从an一a<e中解出n,即可求得N. (2)适当放大法 有时lam一a<e比较复杂，不便解出n,可考虑 am-a≤f(n)<e, f(n)要形式简单，易从f(n)<e解出n. 另外，并不要求对所有的n都满足lam-a≤f(n),只要n>N1(N1是某个 自然数)时满足即可，而从f(n)<e解出n>N2,令N=max{N1,N2,则n>W 时，有am-a<e. 2.夹逼定理 如果数列{bn}和{cn}都收敛于.，且从某项am开始，总有 bn≤am≤cn 则数列{an}也收敛于l. 3.单调有界判别法 单调递增（诚）有上（下）界的数列必然收敛， 4.柯西收敛准则 数列{an}收敛→对e>0,3V(e)∈N,使得当n>N(e)时，lan+p-an<e 对一切正整数p都成立。 从柯西收敛准则得：数列{an}发散←→3eo>0,使得对N∈N,有自然数 n>N.n">N.满足am-am≥e0
微积分学习指导 注记某些情况下，斯托尔兹(Stolz)定理也是计算数列极限值或判断数列 是否收敛的有效方法（在例题中参见该定理及其证明）， 精选例题 例1若数列{a}的奇偶子列分别满足 lima2k+1=a和 lim aak =a, 试证：lima,=a. n-00 证明 由1ima2k+1=a,即对Ve>0,3N1∈N,使得当k>N1时，有 k 02k+1-a<e: 再由lima2k=a,则对上面的e,3N2∈N,使得当k>N2时，有la2k-a<e 取 N=2max{N1,N2}+1, 则当n>N时，lan-a<e,即lim an=a. 注记这实质是等价命题，即 lim an=a←→lima2k=a且ima2k+1=a. 例2设an≥0，lim an=a,试证： 且+年 (1)lim√an=Va: (2)lim Van =Va. 7卡金 证明两式证法类似，选证式(2).由极限的保号性知a≥0. 当a=0时，用数列极限的e-N定义来证 由1iman=0,即对e>0,3N∈N,使得当n>N时，有0≤an<3.因而 当n>N时，0≤an<e,故由定义，lim an=0. 当a>0时，由分母有理化及适当放大得不等式 lVan-Val= (an)3-(a)3 lan-al /a+am·a+a2
第1章极限与连续 9 令n→oo,由夹通定理得 im（a,-a)=0即 lim an Va. 注记一般地，设am≥0，lim an=a,则lim an=a,其中k为正整数.。 n+0 净 例3求下列极限： (1)lim 3n2-5n+8 3”+2n+3 √4n4+3n (2)lim n-+0 n+603/27m-9n+7 分析先对数列通项实施恒等变形，再利用极限的四则运算及例2的结论， 5.8 3-+ 解(1)lim 3n2-5n+8 =lim n'n2 n+00 V4n4+3n n+0 3 1/4+ n3 5.8 lim 3- 3 3 3 Vi 2 n3 3n+2n+3 1+8 3 ne27-9n=li四 (2)lim 1-9 2 lim 1+8 n-oc 1 =1 im1-9(3) 例4试证：(1)1imy元=1； (②ima=1(a>0). 证明(1)由平均值不等式，当n≥3时（下述表示中有n-2个1） 1<沉=m1…1<ym+m+1+…+1_2n-2 Vn n 令n→0，并利用夹逼定理得 Inn 沉=1（→细 =0) 7 (2)当a≥1且n≥a时 1≤a≤/n