微积分学习指导 3.4 定积分的基本性质与微积分基本定理 (159) 3.5定积分的计算方法 (183) 3.6定积分的应用. (210) 3.7广义积分 (218) 第4章微分方程.… (227) 4.1微分方程的基本概念... (227) 4.2一阶微分方程... (231) 4.3可降阶的二阶微分方程..· (243) 4.4二阶线性微分方程解的结构. (247) 4.5二阶常系数线性微分方程. (251) 综合练习题… (263) 部分综合练习题解答或提示… (269
第1章 极限与连续 1.1预备知识 首先，我们介绍一些基础而重要的等式和不等式（证明略），以供读者查阅 使用. 1.合比与分比的关系 设所有分母α，不为零且同号（同大于零或同小于零），则有 b: m{合 其中等号成立当且仅当分比{合} 全相等。 2.乘积的变差 AB-ab=A(B-6)+b(A-a). 3.三角不等式 对任给的两个实数α，b都有 la-l≤la±b≤la+b 4.阿贝尔(Abel)分部求和及其估算 记Ak=a1+a2+…+ak,1≤k≤n,则有：
2 微积分学习指导 (四∑a,=A.b+∑Au以-月 (2)若对于k=1,2,·,n皆有|Ak≤L,且数列{bs}=1是单调的，那么 ∑ab ≤L(0b+2bl)月 (3)若对于k=1,2,·,n皆有m≤Ak≤M,且{b}=1是非负单调递减的， 那么 mb≤∑axb≤Mb. k=1 5.余弦（正弦）和式 当x不是2π的整数倍时，有 n sin( c-sin 2 COS- cosk= 2 sinka= k=1 2sin 2 2sin 2 6.伯努利(Bernoulli)不等式 假设-1<h≠0，则有： (1)当0<a<1时，(1+h)a<1+ah: (2)当a>1或a<0时，(1+h)a>1+ah. 7.加权均值不等式 假设X1+2+…+入=1，入：>0(i=1,2,…,:n≥2)，则对任给的n个正 数x1,x2,…,xn,都有 其中等号成立当且仅当x1,x2,…,xm全相等. (当入皆为时，上式便是平均值不等式)
弟1章极限与连续 3 &赫尔德(H6lder)不等式 设x1,x2,…,xm;1,2,…,m为两组不全为零的非负实数(n≥2)，p> 1,9>1,三+三=1，则有 p g ≤（区）（区） 其中等式成立当且仅当存在常数入>0，使得对于i=1,2,….n皆有x= (当p=q=2时，即柯西(Cauchy)一施瓦茨(Schwarz)不等式) 9.闵可夫斯基(Minkowski)不等式 设c1,2,…,xn;,,…,m为两组不全为零的非负实数(n≥2)，p>1, 则有 (∑+r)产<（∑）产+（∑） 其中等式成立当且仅当存在常数入>0，使得对于i=1,2,…,n皆有x=: (当p=2时，就是通常的三角不等式) 注记1.前五条有中学知识范围内的初等证明。 2.写出函数f(h)=(1+h)n在h=0处的一阶带拉格朗日(Lagrange)余项 的泰勒(Taylor)展式，并以此可以证明结论6（伯努利不等式）. 3.结论6(1)与结论7(n=2情形)等价.实际上，结论6(1)可改写为：当 0<1+h≠1时 11-(1+h)°<(1-a)1+a·(1+h片 而结论7(n=2情形)可写成：当0<a<1,E1>0,2>0,x1卡c2时 x-ax<(1-a)x1+a·x2→(1+h)P<1+ah, 其中h=2-1. 4.在结论7（加权均值不等式）中，n=2情形蕴含一般的n≥2情形（数学 归纳法)： 5.lnx在区间(0，+oo)中是凹函数，可用此事实证明结论7
微积分学习指导 6.由结论7(n=2情形)证结论8（赫尔德不等式），由结论8证结论9（闵 可夫斯基不等式)，关于结论8与结论9，读者还可参考书末综合练习题中积分意 义上两相应不等式的证明方法 1.2数列极限 知识要点 ◇数列极限的定义 (e-N定义)设有数列{an}及实数a,若对任给的e>0,总存在自然数 N=N(e),使得当n>N时，都有 lan-a|<E, 则称数列{an}收敛于a,或称a是{an}的极限，记为 lim an=a或an→a(n→o): 也就是 lim an=a→对Ve>0,3N=N(e)∈N,使得当n>N时，恒有an-a<e. n-x 注记1.收敛性的定义中，至关重要的是正数ε的任意性、与之相关的合乎 要求的自然数N的存在性，至于N=N()的大小以及它是否是合乎要求的最小 的自然数都无关紧要 2.收敛性的定义中，作如下改变，仍然得到等价的定义.比如将“对任给的 :>0”换为“对任给的0<<1”，或“对任给的e=(m是正整数)”：又比