10 微积分学习指导 令n→o,并利用(1)的结论和夹逼定理得 1im/a=1(a≥1) n+00 当0<a<1时，>1，有 1 lim a=lim 作中金@ n+0∞ 1 故有 lim Va=1 (a>0). n+ 例5设数列{an}满足0<an<2,an+1(2-an)≥l,证明{an}是单调增 数列，并求极限lim an· n 证明 由已知，得2-a>0,+1≥2-0故有 1 ,1-m= an+1-an≥2-an L-an}≥0 即 2-an an+1≥an, 则{an}是单调增有上界的数列，所以数列{an}收敛. 设lim an=a,则对an+1(2-an)≥1两边取极限(m→o,得 n-+0o a(2-a)≥1即(1-a)2≤0， 因而必有a=1,即lim an=1 刀◆ 例6令aw-写a1-(+2) 1 n=0,1,2,…,证明数列{an}收敛， 并求其极限值， 证明（提要）易见，偶子列{a2k}°。的通项都满足0<a2k<1,而奇子列 {a2*+1}0的通项都满足a2*+1>1.又因为 1 2 a0= 5' a1=3,a2= a3= a2-a0>0,a3-a1<0, m-0)0+ a2,n=0,12, 1+an (1)
第1章校限与连续 11 以及当n≥2时 an+2-an= an-an-2 (1+an)(1+a-2) 由此式知an+2-an与an-an-2同号(m=2,3,4,…),并且偶子列{a2k}20在 区间(0,1)内严格单调增，奇子列{a2k+1}°0在区间(1，+∞)内严格单调减，由 单调有界定理，两子列都收敛 令lima2k=a(0<a≤1)，则对式(1)两边取极限(n=2k→oo),得 k+09 1a a=2+1+a 即2a2-a-1=0, 上述方程在a>0中仅有唯一解a=1,即偶子列极限 lim a2k 1. k+00 同理，得奇子列极限 lim a2k+1 =1. k-o0 故数列{an}收敛，并有lim an=1. 注记可以证明，一搬地，若任给正数a0≠1，令am+1=(1+),n= 0,1,2,…,则有1imam=1,并且{an}%0的奇偶子列分别都是严格单调的 例7记a-,n=12…试证数列a收致 n+00 k=1 证明 对于正整数n,p有 lan+p-anl≤∑ sin(≤ (k-1)k (裂项相消法) k=n+1 k=n十1 所以对e>0,当n>目 时，有 an+p-anl<= <e
12 微积分学习指导 对一切正整数p都成立.由柯西收敛准则，数列{an}收敛， 例8记c=(1+)”,d=（+月)”，n=1,2…,试证 n+1 (1)en<em+1<dn+1<dn,n=1,2,…(→en<e<d,n=1,2,…,其中e 是数列{en}和{d}的共同极限值，即自然对数的底)： (2) n+1少<e0<n+1)m+中 n! n! n (3)细元 证明(1)仅需要证明数列{en}严格单调增，{dn}严格单调减.实际上，利 用平均值不等式，对所有正整数， -(学-((- 孟-()-()1<+w(】 n+2 n+1 n+2 1 n+2 从而(1)得证. (2)利用(1)的结论，有e1e2…en<e”<d山·d2…dn,也就是 ()<e<i(t) 即 n+)<e"<n+1)m+ n! n! (3)注意到(2)中结论等价于 1 e 1 e n+n+1<元<n+1 即 1 ne ne Vn+I n+1 Vn!n+l' 令n→oo,并利用夹逼定理即得lim n+n园 se
第1章极限与连续 13 例9设正数列{an}的部分和数列 {女-三个}收数于有限瓶4记 Pn=(1+as),试证：数列{P}收敛 证明由于{an}是正数列，显然{An}与{Pn}都是严格单调增的数列（且 An<A),下证{Pn}有上界.实际上，利用平均值不等式得 R.-Ⅱ+a)≤(+a)++a2+…++a)” 2 =(1+)”<(1+)” 由于数列{+)} 收敛到eA,所以它是有界数列，从而{Pn}是有界数列， 故递增数列{Pn}收敛. 例10设入1，入2,3都为正数，且1+2+A3=1,0<x0<0<20,令 1 工n+1= ++' n+1=x2z,n+1=入1xn+入2n十入32n, nnzn 试证：(1)xn<xn+1<n+1<zn+1<2m,n=0,1,2,…; (2){zn},{yn,{n}三数列收敛到同一值. 证明(1)由数学归纳法，并利用加权均值不等式得 0<xn<ym<zn,n=0,1,2,… 另外，对于n=0,1,2,…,有 2n+1=入1xm+2n+入3zn<入12n+入2zn+入32n=(1十2+入3)2n=2n; 1 1 In xn+1= +也+态++++水 =In 故 rn<tn+1<n+1<n+1<2n:
14 微积分学习指导 (2)从结论(1)知数列{xn}0严格单调增并以0为其上界，而数列 {m}eo严格单调减并以xo为其下界，因而{xn}与{zn}都收敛.另外，从n 的递归定义式得 =1-Az-o小n=012 故数列{yn}也收敛. 令细n=五，细h=秒细=名，则由（四）得 n+0 x0<E≤y≤2<0 在zn的递归定义式中，令n+oo得 (1+2+入3)z=2=入1x+入2y+入32或入1(2-x)+入2(z-)=0. 所以z-x=0z-y=0,即x=y=之.故三数列{xn},{yn},{zn}收敛到同 一值 例11斯托尔兹定理， 型斯托尔兹定理 0 设数列{xn}1与严格单调数列{yn},满足 lim n=lim yn =0,lim Tn+1-In n-0o n-too 3n+1-Un 则有im =l(允许l=+0∞或-0∞； n+∞yn (2) 型斯托尔兹定理) 设数列{xn}e1与严格单调数列{yn}1满足 \oo lim in=oo, lim In+1-In n+0∞ n+o∞yn+1-yn 则有1imn=l(允许l=+oo或-oo). n-too 证明设1为有限数（亿=+∞或一∞情形的证明留给读者） 令变换Xn=xn一lgn后，两种类型的斯托尔兹定理中，部分条件都转化为 下式 (C): lim Xn+1-Xn =0 Un+l-Un