例5-1 维系统动态方程为 x+I u y=[ okr 00 取uKy+v,这样可以得到闭环系统的特征多项式为 s2-K,无论K取何值,闭环系统的极点只能在复平面 的实轴或虚轴上移动。这说明输出反馈不能任意改 变这个系统的极点。 (5-2)式的输出反馈控制律中的K阵与闭环极 点之间的关系是复杂的,可以说仍是线性控制理 论至今尚未解决的问题
例5-1 二维系统动态方程为 u 1 0 x 0 0 0 1 x + = y = 1 0x 取u=Ky+v，这样可以得到闭环系统的特征多项式为 s 2 -K，无论K取何值，闭环系统的极点只能在复平面 的实轴或虚轴上移动。这说明输出反馈不能任意改 变这个系统的极点。 （5-2）式的输出反馈控制律中的K阵与闭环极 点之间的关系是复杂的，可以说仍是线性控制理 论至今尚未解决的问题
循环矩阵 n×n方阵A称为循环的是指其最小多项式就是特征多 项式。 等价说法有 1,sl-A的 Smith标准形只有一个非1的不变因子; 2,A的若当形中一个特征值只有一个若当块; 3,存在向量b(称为A的生成元,使 b.Ab.A2b…An-2b.A-b线性无关 单输入系统(Ab)可控的充分必要条件是:A是循环的 且b是A的生成元
1, sI-A的Smith标准形只有一个非1的不变因子； 单输入系统 (A b)可控的充分必要条件是：A是循环的 且b是A的生成元。 3, 存在向量b(称为A的生成元), 使 b,Ab,A 2 b, ,A n−2 b,A n−1 b 线性无关。 循环矩阵 n×n方阵A称为循环的是指其最小多项式就是特征多 项式。 等价说法有 2, A的若当形中一个特征值只有一个若当块；
用于极点配置问题中的几个定理 推论5-2若(A、B)可控,A是循环矩阵,则存 在向量b∈ImB使(A、b)可控。 推论5-4设(A、B、C)可控可观测,存在一个 p×q矩阵H,使(A+BHC、B)可控,(A+BHC、 C)可观测,并且A+BHC是循环矩阵,即它的最小 多项式是n次。 这一推论可以通过反复用定理54而得到。它 表明在(A、B、C)可控可观测的条件下,存在输 出反馈增益阵H,可使闭环系统矩阵A+BHC是循环 的。因此在讨论输出反馈问题时,我们总可认为系 统矩阵是循环矩阵
用于极点配置问题中的几个定理 推论5-2 若（A、B）可控，A是循环矩阵，则存 在向量bImB,使（A、b）可控。 这一推论可以通过反复用定理5—4而得到。它 表明在（A、B、C）可控可观测的条件下，存在输 出反馈增益阵H，可使闭环系统矩阵A+BHC是循环 的。因此在讨论输出反馈问题时，我们总可认为系 统矩阵是循环矩阵。 推论5-4 设（A、B、C）可控可观测，存在一个 p×q矩阵H，使（A+BHC、B）可控，（A+BHC、 C）可观测，并且A+BHC是循环矩阵，即它的最小 多项式是n次
例5-3给定系统为(A、B、C)如下 1100 0110 00 1000 A B C 0010 000 0001 0 01 0 00 H a+ BHc 00 0011 000 00 000 可知(A+BHC、B)可控,(A+BHC、C)可观测 且A+BHC是循环矩阵,它的最小多项式为4次
例5-3 给定系统为（A、B、C）如下 = 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 A = 0 1 1 0 0 0 0 0 B = 0 0 0 1 1 0 0 0 C b 0 0 0 1 c 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 A BHC 0 0 0 1 H T = = + = = 可知（A+BHC、B）可控，（A+BHC、C）可观测， 且A+BHC是循环矩阵，它的最小多项式为4次
用静态输出反馈配置极点 首先研究单输入多输出的系统,以说明用静态 输出反馈配置极点时所遇到的困难,而这些困难是 用全部状态变量作反馈时所未遇到的。一个单输入 多输出系统动态方程为 Ax+ bu y Cx (5-11) u=ky+v (5-12) 联合(5-11)和(5-12)可得闭环系统的动态方程为 文=(A+bKC)x+bv (5-13)
首先研究单输入多输出的系统，以说明用静态 输出反馈配置极点时所遇到的困难，而这些困难是 用全部状态变量作反馈时所未遇到的。一个单输入 多输出系统动态方程为 u=ky+v (5-12) 联合（5-11）和（5-12）可得闭环系统的动态方程为 y Cx x Ax bu = = + （5-11） x = (A + bKC)x + bv （5-13） 用静态输出反馈配置极点