20 第一章实数集与函数 习题 证明f(x)=2x;是R上的有界函数 2.(1)叙述无界函数的定义; (2)证明∫(x)=为(0,1)上的无界函数; (3)举出函数f的例子,使f为闭区间[0,1]上的无界函数 3.证明下列函数在指定区间上的单调性: (1)y=3x-1在(-∞,+∞)上严格递增; (2)y=sinx在-,丌上严格递增; (3)y=csx在[0,r]上严格递减 4.判别下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x4+x2-1;(2)f(x)=x+sinx; (3)f(x)=x2e (4)f(x)=kg(x+√1+x2) 5.求下列函数的周期 (1)∞x2x;(2)tan3x;(3)∞os号+2in 6.设函数∫定义在[a,a]上,证明: (1)F(x)=f(x)+f(-x),x∈[-a,a]为偶函数; (2)G(x)=f(x)-f(-x),x∈[-a,a]为奇函数; (3)f可表示为某个奇函数与某个偶函数之和 7.设fg为定义在D上的有界函数,满足 f(x)≤g(x),x∈D 证明:():y(x)≤gg(x);(2)g(x)F(x) 8.设∫为定义在D上的有界函数,证明 (1)-(x) (x);(2)inf I-f(x) =-supf(x) 9证明mnz在(-2,2)上无界而在(-2,2)内任一闭区间a,b上有界 10.讨论狄利克雷函数 D(x)=1,当x为有理数, 0,当x为无理数 的有界性、单调性与周期性 11.证明:f(x)=x+sinx在R上严格增 12.设定义在[a,+∞)上的函数f在任何闭区间[a,b]上有界.定义[a,+∞)上的函
总练习题 21 数 m(x)=inf f(y), M(r)= sup f(y) 试讨论m(x)与M(x)的图象,其中 (1)f(x)=∞sx,x∈[0,+∞);(2)f(x)=x2,r∈[-1,+∞) 总练习题 设a,b∈R,证明 (1)maxa, b=a(a+b+la-bl); (2)minIa, b|=l(a+b-1a-b1) 2.设∫和g都是D上的初等函数定义 M(x)=maxlf(),g(x)I, m()=minI(x), g(x),IED 试问M(x)和m(x)是否为初等函数? 3.设函数f(x)=1千x,求: (-x),(x+1,(x)+1,/() x),f(2),f(x2),f(f(x) 4.已知 =x+√1+x2,求f(x) 5利用函数y=[x]求解: (1)某系各班级推选学生代表,每5人推选1名代表,余额满3人可增选1名.写出可 推选代表数y与班级学生数x之间的函数关系(假设每班学生数为30-50人); (2)正数x经四舍五入后得整数y,写出y与x之间的函数关系 6.已知函数y=f(x)的图象,试作下列各函数的图象: (1)y=-f(x);(2)y=f(-x);(3)y=-f(-x) (4)y=|f(x);(5)y=gnf(x); (6)、￥/(x)|+f(x)];()y=21x)-f(x) 7.已知函数∫和g的图象试作下列函数的图象 (1)o(x)=maxif(x),g(x)I:(2)W(x)=milf(r),g( 8设fg和h为增函数,满足 f(x)≤g(x)≤h(x) 证明:f(f(x))≤g(g(x)≤h(h(x) 9.设∫和g为区间(a,b)上的增函数,证明第7题中定义的函数g(x)和y(x)也都是 (a,b)上的增函数 10.设∫为[-a,a]上的奇(偶)函数证明:若∫在[0,a]上增,则∫在[-a,0]上增 (减) 11.证明:
第一章实数集与函数 (1)两个奇函数之和为奇函数,其积为偶函数; (2)两个偶函数之和与积都为偶函数; (3)奇函数与偶函数之积为奇函数 12.设f,g为D上的有界函数证明 (1)if(x)+g(x)≤g(x)+ (2){B(x)+(x)≤:glf(x)+(x) 13.设f,g为D上的非负有界函数证明: 1)inf(x)·infg(x)≤ inf f(x)g(x) (2)Blf(x)g(x)≤出(x)B(x) 14.将定义在[0,+∞)上的函数f延拓到R上,使延拓后的函数为()奇函数;(i)偶函 数.设 (1)f(x)=sin x+1 (2)f(x)≈1-√1-x2,0≤x≤1, 15.设∫为定义在R上以h为周期的函数,a为实数证明:若f在[aa+h]上有界则 ∫在R上有界 16.设∫在区间I上有界.记 证明 f(x^)-f(x")
第二章数列极限 §1数列极限概念 若函数f的定义域为全体正整数集合N+,则称 f:N+→R或f(n),n∈N 为数列因正整数集N的元素可按由小到大的顺序排列,故数列f(n)也可写 作 1,a2 或简单地记为{an},其中an称为该数列的通项 关于数列极限,先举一个我国古代有关数列的例子 例1古代哲学家庄周所著的《庄子天下篇》引用过一句话:“一尺之棰,日 取其半,万世不竭”,其含义是:一根长为一尺的木棒,每天截下一半,这样的过程 可以无限制地进行下去 把每天截下部分的长度列出如下(单位为尺) 第一天截下,第二天截下2…,第,?”这样就得到一个 数列 或 数列({2n}的通项随着n的无限增大而无限地接近于0.一般地 不难看出,数列 说,对于数列{an},若当n无限增大时an能无限地接近某一个常数a,则称此数列 为收敛数列,常数a称为它的极限不具有这种特性的数列就不是收敛数列 收敛数列的特性是“随着n的无限增大,an无限地接近某一常数a”这就 是说,当n充分大时,数列的通项an与常数a之差的绝对值可以任意小.下面 我们给出收敛数列及其极限的精确定义 定义1设{an}为数列,a为定数若对任给的正数c,总存在正整数N,使 得当n>N时有 < 则称数列{an}收敛于a,定数a称为数列{an}的极限,并记作
24 第二章数列极限 na 或an→a( 读作“当n趋于无穷大时,an的极限等于a或an趋于a 若数列{an}没有极限,则称{an不收敛,或称{an}为发散数列 定义1常称为数列极限的e-N定义.下面举例说明如何根据e-N定义 来验证数列极限 例2证明im=0,这里a为正数 证由于 故对任给的e>0,只要取N=立+1,则当n>N时便有 1<1 <ε即 这就证明了limn=0. 例3证明 3 分析由于 2 ≤(n≥3) 因此,对任给的e>0,只要<e,便有 3 3|<e 3 即当n 时,(2)式成立.又由于(1)式是在n≥3的条件下成立的,故应取 证任给e>0,取N=mx/3.9.据分析,当n>N时有(2)式成立于是 本题得证 注本例在求N的过程中,(1)式中运用了适当放大的方法,这样求N就 比较方便但应注意这种放大必须“适当”,以根据给定的ε能确定出N.又(3)式 ①记号lm是拉丁文lmes(极限)一词的前三个字母.由于n限于取正整数,所以在表示数列极限 的记号中把n→+∞简单地写作n→∝