§1数列极限概念 给出的N不一定是正整数.一般地,在定义1中N不一定限于正整数,而只要 它是正数即可. 例4证明 lime=0,这里q|<1 证若q=0,则结果是显然的现设0<|q<1.记h=-1,则h>0 我们有 并由(1+h)≥1+mh得到 (4) 1+ 对任给的e>0,只要取N=,则当n>N时,由(4)式得|q-0<e.这 就证明了limq"=0 当q=力时就是前面例1的结果 注本例还可利用对数函数y=lgx的严格增性来证明(见第一章§4例6 的注及(2)式),简述如下 对任给的ε>0(不妨设e<1),为使qn-0=|qn<ε,只要 ngql<ge即nge(这里也假定0<1q|<1) 于是,只要取N1g∈-即可 lg q 例5证明lima=1,其中a>0 证当a=1时,结论显然成立.现设a>1.记a=an-1,则a>0.由 a=(1+a"1+ na=1+n(an-1 得 1 a (5) n 任给>0,由(5)式可见当n>2=N时,就有a7-1<e,即|a7-1 <E.所以lma=1.对于0<a<1的情形,其证明留给读者 关于数列极限的E-N定义,通过以上几个例子,读者已有了初步的认识 对此还应着重注意下面几点: 1.c的任意性定义1中正数e的作用在于衡量数列通项an与定数a的 接近程度,E愈小,表示接近得愈好;而正数e可以任意地小,说明an与a可以
第二章数列极限 接近到任何程度然而,尽管e有其任意性,但一经给出,就暂时地被确定下来, 以便依靠它来求出N又∈既是任意小的正数,那么号,36或2等等同样也是 任意小的正数因此定义1中不等式an-a|<e中的∈可用号,3e或e2等来代 替同时,正由于ε是任意小正数,我们可限定ε小于一个确定的正数(如在例4 的注给出的证明方法中限定ε<1).另外,定义1中的|an-a|<E也可改写成 ≤ 2.N的相应性一般说,N随ε的变小而变大,由此常把N写作N(E),来 强调N是依赖于ε的;但这并不意味着N是由所唯一确定的,因为对给定的 e,比如当N=100时能使得当n>N时有|an-a1<e,则N=101或更大时此 不等式自然也成立这里重要的是N的存在性,而不在于它的值的大小.另外, 定义1中的n>N也可改写成n≥N 3.从几何意义上看,“当n>N时有|an-a|<e”意味着:所有下标大于N 的项an都落在邻域U(a;)内;而在U(a;e)之外,数列an}中的项至多只有 N个(有限个)反之,任给e>0,若在U(a;e)之外数列{an}中的项只有有限 个,设这有限个项的最大下标为N,则当n>N时有an∈U(a;e),即当n>N 时有an-a|<e.由此,我们可写出数列极限的一种等价定义如下 定义1′任给e>0,若在U(a;e)之外数列{an}中的项至多只有有限个, 则称数列{an收敛于极限a 由定义1可知,若存在某60>0,使得数列{an}中有无穷多个项落在U( )之外,则{an}一定不以a为极限 例6证明{n2和{(-1)”}都是发散数列 证对任何a∈R,取e0=1,则数列{n2}中所有满足n>a+1的项(有无 穷多个)显然都落在Ua;∈0)之外,故{n2}不以任何数a为极限,即{n2为发 散数列 至于数列(-1)”},当a=1时取e0=1,则在U(a;∈0)之外有{(-1)}中 的所有奇数项;当a1时取0=1a-1,则在U(a;)之外有(-1)中 的所有偶数项所以{(-1)”}不以任何数a为极限,即{(-1)”}为发散数列.口 例7设 limx= limy=a,作数列{zn}如下: x1,y1,x2,y2 证明 lime=a 证因 lim x= lim y=a,故对任给的e>0,数列{xn}和{yn}中落在 U(a;)之外的项都至多只有有限个所以数列{zn}中落在U(a;e)之外的项
§1数列极限概念 也至多只有有限个故由定义1,证得lmzn=a 例8设{an}为给定的数列,{bn}为对{an}增加减少或改变有限项之后得 到的数列证明数列{bn}与{an同时为收敛或发散,且在收敛时两者的极限相 等 证设{an}为收敛数列,且iman=a按定义1,对任给的>0,数列{an 中落在U(a;e)之外的项至多只有有限个而数列bn}是对{an}增加减少或改 变有限项之后得到的,故从某一项开始,|bn}中的每一项都是{an中确定的 项,所以{bn}中落在U(a;e)之外的项也至多只有有限个.这就证得 limb=a 现设{an}发散倘若{bn}收敛,则因{an}可看成是对{bn}增加减少或改变 有限项之后得到的数列,故由刚才所证,{an收敛,矛盾所以当{an}发散时 bn}也发散 在所有收敛数列中,有一类重要的数列,称为无穷小数列,其定义如下: 定义2若iman=0,则称{an}为无穷小数列 前面例124中的数列都是无穷小数列.由无穷小数列的定义,读者不难证 明如下命题 定理21数列{an}收敛于a的充要条件是:{an-a}为无穷小数列 习题 1.设 1+(-1)2 =0 n (1)对下列c分别求出极限定义中相应的N: e1=0.1,e2=0.01,e3=0.001 (2)对e1,e2,e3可找到相应的N,这是否证明了an趋于0?应该怎样做才对; (3)对给定的是否只能找到一个N? 2.按e-N定义证明: (1)lm41=1 (3)lim=0 (4)limin=0; (5)limn=0(a>1). 3.根据例2例4和例5的结果求出下列极限,并指出哪些是无穷小数列: (1)im;(2)im33;(3)lim3; (4)lim;(5)lim y2→氵(6)limy10;
28 第二章数列极限 (7)lim 4.证明若man=a,则对任一正整数k,有iman+k=a 5.试用定义1证明 (1)数列{1不以1为极限;(2)数列{n-)”发散 6.证明定理21,并应用它证明数列1+(=1)的极限是1 7.证明:若 lim a=a,则lmn|anl=|al.当且仅当a为何值时反之也成立? 8.按E-N定义证明 (1)lim(√n+1-√n)=0;(2)im 1+2+3+…+n=0 (3)iman=1,其中 n-1 n为偶数, n为奇数 §2收敛数列的性质 收敛数列有如下一些重要性质: 定理22(唯一性)若数列{an}收敛,则它只有一个极限 证设a是an}的一个极限我们证明:对任何数b≠a,b不是{an}的极 限事实上,若取E0=|b-a|,则按定义1,在U(a;∈0)之外至多只有{an}中 有限个项,从而在U(b;e0)内至多只有{an}中有限个项,所以b不是{an}的极 限.这就证明了收敛数列只能有一个极限 个收敛数列一般含有无穷多个数,而它的极限只是一个数我们单凭这一 个数就能精确地估计出几乎全体项的大小以下收敛数列的一些性质大都基于 这一事实 定理23(有界性)若数列{an}收敛,则{an}为有界数列,即存在正数M, 使得对一切正整数n有 ≤M 证设1ma,=a取ε=1,存在正数N,对一切n>N有 1<1即 1<an<a+1 记 maxi a aN H-+看
82收敛数列的性质 则对一切正整数n都有|an≤M 注有界性只是数列收敛的必要条件,而非充分条件.例如数列{(-1)}有 界,但它并不收敛(见§1例6) 定理2.4(保号性)若 lim a=a>0(或<0),则对任何a∈(0,a)(或a ∈(a,0)),存在正数N,使得当n>N时有an>a(或an<a) 证设a>0.取c=a-a(>0),则存在正数N,使得当n>N时有an>a ε=a,这就证得结果.对于a<0的情形,也可类似地证明 注在应用保号性时,经常取a 定理25(保不等式性)设{an}与{bn}均为收敛数列.若存在正数No,使 得当N>No时有an≤bn,则 lim a≤limb 证设lman=a,lmb,=b.任给E>0,分别存在正数N1与N2,使得当 N1时有 < 当n>N2时有 6.<b+e (2 取N=maxN,N1,N21,则当n>N时,按假设及不等式(1)和(2)有 <an≤bn<b+ε 由此得到a<b+2e由e的任意性推得a≤b(参见第一章§1例2),即 lim a≤ lim b 请读者自行思考:如果把定理2.5中的条件an≤bn换成严格不等式an< bn,那么能否把结论换成 i lima< lim b? 例1设an≥0(n=1,2,…).证明:若 lim a=a,则 m (3) 证由定理2.5可得a≥0 若a=0,则由 lima=0,任给E>0,存在正数N,使得当n>N时有an< c2,从而√an<E即|√an-0<e,故有im√an=0 若a>0,则有 C 任给ε>0,由iman=a,存在正数N,使得当n>N时有