S3函数概念 15 统称为初等函数 不是初等函数的函数,称为非初等函数.如在本节第二段中给出的狄利克雷 函数和黎曼函数,都是非初等函数 习题 1.试作下列函数的图象: y (2)y=(x+1) (3)y=1-(x+1)2;(4)y=sgn(sinx); 3x,!x|>1 (5)y=x3,|x|<1 3,|x}=1 2.试比较函数y=a与y=ogx分别当a=2和a=)时4y 的图象 3.根据图1-2写出定义在[0,1]上的分段函数f1(x)和 f2(x)的解析表示式 4.确定下列初等凼数的存在域 (1)y=sin(sin x); (2)y=lg(lg r (3)y=arcsin(lg in) (4)y=Ig arcsin 5.设函数 图1-2 >0. 求:(1)f(-3),f(0),f(1);(2)f(△x)-f(0),f(-△x)-f(0)(△x>0) 6.设函数f(x) 求 2+x),(2,(+),(x),(2) 7.试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成 (1)y=(1+x)0; (2)y=(arcsin x4) (3)y=lg(1+√1+x2);(4) 8.在什么条件下,函数 ar t b 的反函数就是它本身? 9试作函数y= arcsin(sinx)的图象 10.试问下列等式是否成立:
16 第一章实数集与函数 (1)tan(arctan x)=x, xER; (2) arctan(tanx)=x,x≠kπ+,k=0,土1,±2,… 11.试问y=|x是初等函数吗? 12.证明关于函数y=[x]的如下不等式 (1)当x>0时1-x<x[1]1 (2)当x<0时,1≤x[1]<1-x §4具有某些特性的函数 在本节中,我们将介绍以后常用到的几类具有某些特性的函数 有界函数 定义1设∫为定义在D上的函数若存在数M(L),使得对每一个x∈D 有 f(x)≤M(f(x)≥L), 则称f为D上的有上(下)界函数,M(L)称为f在D上的一个上(下)界 根据定义,f在D上有上(下)界,意味着值域f(D)是一个有上(下)界的数 集.又若M(L)为∫在D上的上(下)界,则任何大于(小于)M(L)的数也是f 在D上的上(下)界 定义2设f为定义在D上的函数若存在正数M,使得对每一个x∈D 有 f(x)|≤M, (1) 则称f为D上的有界函数 根据定义,∫在D上有界,意味着值域∫(D)是一个有界集.又按定义不难 验证:f在D上有界的充要条件是f在D上既有上界又有下界.(1)式的几何意 义是:若f为D上的有界函数,则∫的图象完全落在直线y=M与y=-M之 间 例如,正弦函数sinx和余弦函数oosx为R上的有界函数,因为对每一个 ∈R都有sinx≤1和|csx|≤1 关于函数f在数集D上无上界、无下界或无界的定义,可按上述相应定义 的否定说法来叙述例如设f为定义在D上的函数,若对任何M(无论M多 大)都存在x0∈D,使得f(x0)>M,则称f为D上的无上界函数 作为练习,读者可自行写出无下界函数与无界函数的定义
§4具有某些特性的函数 77 例1证明f(x)=为(0,1]上的无上界函数 证对任何正数M取(0,上一点xo=M+1,则有 f(x)=1=M+1>M 故按上述定义,f为(0,1]上的无上界函数 前面已经指出,f在其定义域D上有上界,是指值域f(D)为有上界的数 集.于是由确界原理,数集∫(D)有上确界.通常,我们把f(D)的上确界记为 supf(x),并称之为f在D上的上确界类似地,若∫在其定义域D上有下界,则 f在D上的下确界记为inf(x) ∈ 例2设f,g为D上的有界函数证明: (i)inff(x)+ infg(x)sinf if(x)+g(x)l; ii) suB f(r)+g(x)ssupf(x)+supg(x) 证(i)对任何x∈D有 r∈D 0/9(x)是函数f+g在D上的一个下界,(x inf(x)≤f(x),infg(x)≤g(x)→inf(x)+infg(x)≤f(x)+ 上式表明,数inf(x)+i )+infg(x)< inf (f(x)+g(x) x∈ (i)可类似地证明(略) 注例2中的两个不等式,其严格的不等号有可能成立.例如,设 f(x)=x,g(x)=-x,x∈[-1,1], 则有inff(x)=int,g(x)=-1,sup,f(x)=supg(x)=1,而 xl≤1 1f(x)+g(x)}=图1(x)+g(x)=0 二单调函数 定义3设∫为定义在D上的函数若对任何x1,x2∈D,当x1<x2时,总 (i)f(x1)≤f(x2),则称∫为D上的增函数特别当成立严格不等式f(x1) <f(x2)时,称f为D上的严格增函数 i)f(x1)≥f(x2),则称f为D上的减函数,特别当成立严格不等式 f(x1)>f(x2)时,称f为D上的严格减函数 增函数和减函数统称为单调函数,严格增函数和严格减函数统称为严格单 调函数 例3函数y=x3在R上是严格增的因为对任何x1,x2∈R,当x1<x2
第一章实数集与函数 时总有 x1=(x2-x1(x2+2 即x3< 例4函数y=[x]在R上是增的因为对任何x1,x2∈R,当x1<x2时显 然有[x1≤[x.但此函数在R上不是严格增的,若取x1=0,x2=2,则有 [x1]=[x2]=0,即定义中所要求的严格不等式不成立此函数的图象如图1-3 所示 严格单调函数的图象与任一平行于x轴的直 线至多有一个交点,这一特性保证了它必定具有反 函数 定理1.2设y=f(x),x∈D为严格增(减)一 函数,则∫必有反函数∫1,且∫在其定义域f(D) 上也是严格增(减)函数 证设f在D上严格增对任y∈f(D),有 图1-3 x∈D使f(x)=y.下面证明这样的x只能有一个 事实上,对于D内任一x1≠x,由∫在D上的严格增性,当x1<x时f(x1)<y, 当x1>x时有f(x1)>y,总之f(x1)≠y.这就说明,对每一个y∈f(D),都只 存在唯一的一个x∈D,使得f(x)=y,从而函数∫存在反函数x=f1(y), y∈f(D) 现证f1也是严格增的任取y,y2∈f(D),y1<y设x1=f(y1),x2 =f(y2),则y1=f(x1),y2=f(x2).由y1<y2及f的严格增性,显然有x1 x2,即f1(y1)<f1(y2).所以反函数f1是严格增的 例5函数y=x2在(-∞,0)上是严格减的,有反函数(按习惯记法)y= √x,x∈(0,+∞);y=x2在[0,+∞)上是严格增的,有反函数y=√x,x∈ [0,+∞)。但y=x2在整个定义域R上不是单调的,也不存在反函数 上节中我们给出了实指数幂的定义,从而将指数函数 的定义域拓广到整个实数集R.下面证明指数函数在R上的严格单调性 例6证明:y=a当a>1时在R上严格增;当0<a<1时在R上严格递 减 证设a>1给定x1,x2∈R,x1<x2,由有理数集的稠密性,可取到有理 数r1,r2,使x1<r1<r2<x2(参见§1例1),故有 a21=sup{ar为有理数}≤a
§4具有某些特性的函数 19 <a'≤sup{a'|r为有理数}=a2, 这就证明了a当a>1时在R上严格递增 类似地可证a当0<a<1时在R上严格递减 注由例6及定理1.2还可得出结论:对数函数y=logx当a>1时在(0, +∞)上严格递增,当0<a<1时在(0,+∞)上严格递减.另外,在第四章中将 证明关于实指数幂的一个基本性质(a)9=a(定理4.10),从而相应地有 logro=alga(a>0,a≠1,x∈Rt,a∈R). (2) 三奇函数和偶函数 定义4设D为对称于原点的数集,∫为定义在D上的函数若对每一个x ∈D有 f(-x)=-f(x)(f( 则称f为D上的奇(偶)函数 从函数图形上看,奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象则关于y轴 对称 例如,正弦函数y=sinx和正切函数y=tanx是奇函数,余弦函数 y=cosx是偶函数,符号函数y=nx是奇函数(见图1-1)而函数f(x) sinx+cosx既不是奇函数,也不是偶函数,因若取x0=x,则f(x0)=√2, f(-x0)=0,显然既不成立f(-x0)=-f(x0),也不成立f(-x0)=f(xo 四周期函数 设f为定义在数集D上的函数若存在o>0,使得对一切x∈D有f(x± a)=f(x),则称f为周期函数,a称为f的一个周期.显然,若a为f的周期,则 n(n为正整数)也是f的周期.若在周期函数 f的所有周期中有一个最小的周期,则称此最 小周期为f的基本周期,或简称周期 例如,sinx的周期为2r,tanx的周期为3-2 函数 图1-4 f(a) ∈R 的周期为1(见图1-4).常量函数f(x)=c是以任何正数为周期的周期函数, 但不存在基本周期