10 第一章实数集与函数 uEB: (1)sup(A+ B)=sup A+ sup B; (2)inf(A+B)=inf A+inf B 8.设a>0,a≠1,x为有理数证明 sup{a|r为有理数,r<x},当a> inf{ar为有理数,r<x},当a<1 §3函数概念 关于函数概念,在中学数学中我们已有了初步的了解,本节将对此作进一步 的讨论 函数的定义 定义1给定两个实数集D和M,若有对应法则f,使对D内每一个数x, 都有唯一的一个数y∈M与它相对应,则称f是定义在数集D上的函数,记作 f:D→M, 数集D称为函数∫的定义域,x所对应的数y,称为f在点x的函数值,常记为 f(x)全体函数值的集合 f(D)=lyly=f(x),xE DI(C M) 称为函数∫的值域 (1)中第一式“D→M”表示按法则∫建立数集D到M的函数关系;第二式 →y"表示这两个数集中元素之间的对应关系,也可记为“x→f(x)”习惯 上,我们称此函数关系中的x为自变量,y为因变量 关于函数的定义,我们作如下几点说明: 1.定义1中的实数集M常以R来代替,于是定义域D和对应法则f就成 为确定函数的两个主要因素.所以,我们也常用 y=f(x),x∈D 表示一个函数.由此,我们说某两个函数相同,是指它们有相同的定义域和对应 法则.如果两个函数对应法则相同而定义域不同,那么这两个函数仍是不相同 的例如f(x)=1,x∈R和g(x)=1,x∈R\{0是不相同的两个函数另一方 面,两个相同的函数,其对应法则的表达形式可能不同,例如 g(x)=|x|,x∈R和y(x) ∈R 2.我们在中学数学中已经知道,表示函数的主要方法是公式法即用数学运 算式子来表示函数这时,函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量值的全 体,通常称为存在域在这种情况下,函数的定义域(即存在域)D可省略不写,而 只用对应法则∫来表示一个函数,此时可简单地说“函数y=f(x)”或函数f
§3函数概念 3.函数f给出了x轴上的点集D到y轴上点集M之间的单值对应,也称 为映射对于a∈D,f(a)称为映射f下a的象,a则称为f(a)的原象 4.在函数定义中,对每一个x∈D,只能有唯一的一个y值与它对应,这样 定义的函数称为单值函数若同一个x值可以对应多于一个的y值,则称这种 函数为多值函数在本书范围内,我们只讨论单值函数 二函数的表示法 在中学课程里,我们已经知道函数的表示法主要有三种,即解析法(或称公 式法)列表法和图象法 有些函数在其定义域的不同部分用不同的公式表达,这类函数通常称为分 段函数例如,函数 >0 sgn 0 <0 是分段函数,称为符号函数,其图象如图1-1所示 又如函数f(x)=|x|也可用如下的分段函数形式 来表示: 图1-1 f(x) <0 它还可表示为f(x)=xgnx 函数y=f(x),x∈D又可用如下有序数对的集合: =( f(x),x∈D} 来表示,在坐标平面上,集合G的每一个元素(x,y)表示平面上的一个点,因而 集合G在坐标平面上描绘出这个函数的图象这就是用图象法表示函数的依 据 有些函数难以用解析法、列表法或图象法来表示,只能用语言来描述.如定 义在R上的狄利克雷( Dirichlet)函数 1,当x为有理数 D(x) 0,当x为无理数 和定义在[0,1]上的黎曼( Riemann)函数 1(9∈N,已为既约真分数), R(x)=q 0,当x=0,1和(0,1)内的无理数 三函数的四则运算 给定两个函数f,x∈D1和g,x∈D2,记D=D1∩D2,并设D≠⑧,我们定
12 第一章实数集与函数 义∫与g在D上的和、差、积运算如下 F(x)=f(x)+g(x),x∈D, G(x)=f(x)-g(x),x∈D, )=f(x)g(x),x∈D 若在D中剔除使g(x)=0的x值,即令 D=D1∩{xlg(x)≠0,x∈D2}≠ 可在D上定义f与g的商的运算如下: L(r) f( ∈D 注若D=D1∩D2=8,则f与g不能进行四则运算.例如,设 f(x)=√1-x2,x∈D1={x|x|≤1 4,x∈D2={x|lx|≥2 由于D1∩D2=,所以表达式 f(x)+g(x)=√ 是没有意义的 以后为叙述方便,函数f与g的和、差、积、商常分别写作 g,g g 四复合函数 设有两函数 =f(u),l∈D 2) (x),x∈E 记E*={x|g(x)∈DH∩E.若E*≠,则对每一个x∈E,可通过函数g对 应D内唯一的一个值u,而u又通过函数∫对应唯一的一个值y.这就确定了 个定义在E上的函数,它以x为自变量,y为因变量,记作 y=f(g(x),x∈E或y=(f°g)(x),x∈E, 称为函数f和g的复合函数并称f为外函数,g为内函数,(2)式中的u为中 间变量函数f和g的复合运算也可简单地写作f°g 例1函数y=f(u)=√u,v∈D=[0,+∞)与函数u=g(x)=1-x2,x ∈E=R的复合函数为 =f(g(x))=√1-x2或(f°g)(x)=√1-x2, 其定义域E=[-1,1]<E 复合函数也可由多个函数相继复合而成例如,由三个函数y=sinu,u=
83函数概念 √v与v=1-x2(它们的定义域取为各自的存在域)相继复合而得的复合函数为 ∈[-1,1] 注当且仅当E‘≠(即D∩g(E)≠)时,函数f与g才能进行复合 例如,以y=f(u)= arc sin,u∈D=[-1,1]为外函数,l=g(x)=2+x2,x ∈E=R为内函数,就不能进行复合这是因为外函数的定义域D=[-1,1]与 内函数的值域g(E)=[2,+∞)不相交 五反函数 函数y=f(x)的自变量x与因变量y的关系往往是相对的有时我们不仅 要研究y随x而变化的状况,也要研究x随y而变化的状况.对此,我们引入反 函数概念 设函数 f(x),x∈D (3) 满足:对于值域∫(D)中的每一个值y,D中有且只有一个值x使得 f(r) 则按此对应法则得到一个定义在f(D)上的函数,称这个函数为f的反函数,记 作 fl:f(D)→D, 或 f(y),y∈f(D) (4) 注1函数f有反函数,意味着∫是D与f(D)之间的一个一一映射我们 称∫为映射f的逆映射,它把集合f(D映射到集合D,即把f(D)中的每 个值f(a)对应到D中唯一的一个值a这时称a为逆映射f下f(a)的象,而 f(a)则是a在逆映射f下的原象 从上述讨论还可看到,函数f也是函数∫的反函数或者说,f与f1互为 反函数.并有 f-l(f(a) ∈D f(f1(y)≡y,y∈f(D) 注2在反函数f的表示式(4)中,是以y为自变量,x为因变量若按习 惯仍用x作为自变量的记号,y作为因变量的记号,则函数(3)的反函数(4)可 改写为 f1(x),x∈f(D) 例如按习惯记法,函数y=ax+b(a≠0),y=a2(a>0,a≠1)与y=sinx
第一章实数集与函数 x∈-可的反函数分别是 ga与y= arcsin. t 应该注意,尽管反函数f的表示式(4)与(5)的形式不同但它们仍表示同 一个函数,因为它们的定义域都是f(D),对应法则都是f1,只是所用变量的 记号不同而已 六初等函数 在中学数学中,读者已经熟悉基本初等函数有以下六类: 常量函数y=c(c是常数); 幂函数y=x°(a为实数); 指数函数y=a2(a>0,a≠1) 对数函数y=loga(a>0,a≠1); 三角函数y=sinx(正弦函数),y=cosx(余弦函数), y=tanx(正切函数),y=cotx(余切函数); 反三角函数 y= arcsin(反正弦函数),y=aosx(反余弦函数), y= arctan. t(反正切函数),y= arccot x(反余切函数) 这里我们要指出,幂函数y=x和指数函数y=a都涉及乘幂,而在中学 数学课程中只给出了有理指数乘幂的定义下面我们借助确界来定义无理指数 幂,使它与有理指数幂一起构成实指数乘幂,并保持有理指数幂的基本性质 定义2给定实数a>0,a≠1.设x为无理数,我们规定 supa|r为有理数,当a>1时 (6) nfa|r为有理数},当0<a<1时, (7) 注1对任一无理数x,必有有理数r0,使x<r0,则当有理数r<x时有r <r0,从而由有理数乘幂的性质,当a>1时有a<a'.这表明非空数集 {a|r<x,r为有理数 有一个上界a'0.由确界原理,该数集有上确界,所以(6)式右边是一个确定的数 同理,当0<a<1时(7)式右边也是一个定数 注2由§2习题8可知,当x为有理数时,同样可按(6)式和(7)式来表示 而且与我们以前所熟知的有理数乘幂的概念是一致的.这样,无论x是有理 数还是无理数,a都可用(6)式和(7)式来统一表示 定义3由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数